Matematică pedagogic, sesiunea august 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că log₂16 − log₂8 + log₂1 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   log₂16 = 4, log₂8 = 3, log₂1 = 0 - 3p log₂16 − log₂8 + log₂1 = 4 − 3 + 0 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x + 7. Determinați numărul real m pentru care punctul A(m, 2022) aparține…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 403

   SUBIECTUL I, 2. f(m) = 2022 - 3p 5m + 7 = 2022, de unde obținem m = 403 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(5x − 2) = √3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   5x − 2 = 3 - 3p x = 1, care convine - 2p

4. 4. După două scumpiri succesive cu 20% prețul unui obiect este de 180 lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 125 lei

   x + (20/100)x = 6x/5, unde x este prețul inițial - 2p 6x/5 + (20/100)·(6x/5) = 36x/25 ⇒ 36x/25 = 180, de unde obținem x = 125 lei - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(6,7) și B(2,5). Determinați ecuația dreptei AB.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x − 2y + 8 = 0

   Ecuația dreptei AB este (x − 6)/(2 − 6) = (y − 7)/(5 − 7) - 3p x − 2y + 8 = 0 - 2p

6. 6. Arătați că (sin 45° − sin 30°)(sin 45° + sin 30°) = 1/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2 - 3p (√2/2 − 1/2)(√2/2 + 1/2) = 1/4 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că (−2) ∘ 2 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   (−2) ∘ 2 = −2 · 2 + 5(−2 + 2) + 7 = - 3p = −4 + 0 + 7 = 3 - 2p

2. 2. Arătați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∘ y = xy + 5(x + y) + 7 = yx + 5(y + x) + 7 = - 3p = y ∘ x, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∘” este comutativă - 2p

3. 3. Demonstrați că x ∘ y = (x + 5)(y + 5) − 18, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea, 3. x ∘ y = xy + 5x + 5y + 25 − 18 = - 3p = x(y + 5) + 5(y + 5) − 18 = (x + 5)(y + 5) − 18, pentru orice numere reale x și y - 2p

4. 4. Determinați numerele reale x pentru care x ∘ x = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = −10

   x² + 10x + 7 = 7 - 2p x² + 10x = 0, de unde obținem x = 0 sau x = −10 - 3p

5. 5. Demonstrați că ((−x) ∘ (−y)) + ((−x) ∘ y) + (x ∘ (−y)) + (x ∘ y) = 28, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   (−x) ∘ (−y) = xy − 5x − 5y + 7, pentru orice numere reale x și y - 2p (xy − 5x − 5y + 7) + (−xy − 5x + 5y + 7) + (−xy + 5x − 5y + 7) + (xy + 5x + 5y + 7) = 28, pentru orice numere reale x și y - 3p

6. 6. Determinați perechile (a,b) de numere întregi pentru care a ∘ b = −19.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (a,b) ∈ {(−6,−4), (−4,−6)}

   (a + 5)(b + 5) = −1 - 3p Cum a și b sunt numere întregi, obținem perechile (a,b) de numere întregi (−6,−4) și (−4,−6) - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det A = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = │ 5   5│
           │−4  −4│ = 5 · (−4) − 5 · (−4) = - 3p

   = −20 + 20 = 0 - 2p

2. 2. Arătați că A · A = A.

   −+din 5
   Arată baremul

   A · A = ⎛ 25 − 20   25 − 20⎞
           ⎝−20 + 16  −20 + 16⎠ = - 3p
   = ⎛ 5   5⎞
     ⎝−4  −4⎠ = A - 2p

3. 3. Arătați că X(−1) + X(1) = 2I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   X(−1) = I₂ − A - 2p X(1) = I₂ + A, deci X(−1) + X(1) = I₂ − A + I₂ + A = 2I₂ - 3p

4. 4. Demonstrați că X(a) · X(−1) = X(−1), pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   X(a) · X(−1) = (I₂ + aA) · (I₂ − A) = I₂² − I₂ · A + aA · I₂ − aA² = - 3p = I₂ − A = X(−1), pentru orice număr real a - 2p

5. 5. Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea X(a) nu este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   det(X(a)) = │1 + 5a     5a│
               │   −4a  1 − 4a│ = (1 + 5a)(1 − 4a) − 5a(−4a) = 1 + a, pentru orice număr real a - 3p

   det(X(a)) = 0, de unde obținem a = −1 - 2p

6. 6. Determinați valorile reale ale lui a pentru care det(X(a²)) ≤ 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a ∈ [−3,3]

   det(X(a²)) = a² + 1, pentru orice număr real a - 3p a² + 1 ≤ 10, de unde obținem a ∈ [−3,3] - 2p