Matematică pedagogic, sesiunea august 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √50 − 5(√2 − 1) = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   √50 = 5√2, 5(√2 − 1) = 5√2 − 5 - 3p 5√2 − 5√2 + 5 = 5 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 3x + a, unde a este număr real. Arătați că f(1) = f(2), pentru orice…

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL I, 2. f(1) = a − 2, pentru orice număr real a - 2p f(2) = a − 2, deci f(1) = f(2), pentru orice număr real a - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(x + 2) = log₃(4 − x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   x + 2 = 4 − x - 2p x = 1, care convine - 3p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2/45

   Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre, numerele care au produsul cifrelor egal cu 8 sunt: 18, 24, 42 și 81, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p = 4/90 = 2/45 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, a), B(1, 0) și C(5, 2), unde a este număr real. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   a = (0 + 2)/2 - 3p a = 1 - 2p

6. 6. Arătați că sin 30° + √2 cos 45° + cos 60° = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin 30° = 1/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2 - 3p 1/2 + √2 · (√2/2) + 1/2 = 2 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 3 ∗ 0 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 3 ∗ 0 = 3(4 − 3 − 0) + 3 · 0 = - 3p = 3 · 1 + 0 = 3 - 2p

2. 2. Demonstrați că x ∗ y = (x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ y = xy − 3x − 3y + 9 + 3 = - 2p = x(y − 3) − 3(y − 3) + 3 = (x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice numere reale x și y - 3p

3. 3. Arătați că e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ 4 = (x − 3)(4 − 3) + 3 = x, pentru orice număr real x - 2p 4 ∗ x = (4 − 3)(x − 3) + 3 = x, pentru orice număr real x, deci e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

4. 4. Arătați că 7/3 este simetricul lui 3/2 în raport cu legea de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   4. 7/3 ∗ 3/2 = (7/3 − 3)(3/2 − 3) + 3 = 4 - 2p 3/2 ∗ 7/3 = (3/2 − 3)(7/3 − 3) + 3 = 4, deci 7/3 este simetricul lui 3/2 în raport cu legea de compoziție „∗” - 3p

5. 5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9ˣ ∗ 3ˣ = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1/2 sau x = 1

   5. 9ˣ ∗ 3ˣ = (9ˣ − 3)(3ˣ − 3) + 3, pentru orice număr real x - 2p (3²ˣ − 3)(3ˣ − 3) = 0, de unde obținem x = 1/2 sau x = 1 - 3p

6. 6. Calculați 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ … ∗ 2023.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   6. 3 ∗ x = 3, pentru orice număr real x - 2p 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ … ∗ 2023 = 3 ∗ (4 ∗ 5 ∗ … ∗ 2023) = 3 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(B(0)) = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   det(B(0)) = │2  1│ = 2 · 0 − 1 · 1 =
               │1  0│ - 3p

   = 0 − 1 = −1 - 2p

2. 2. Arătați că A · A = 5I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.

   A · A = ⎡ 1 + 4  −2 + 2⎤
           ⎣−2 + 2   4 + 1⎦ = - 3p
   = ⎡5  0⎤
     ⎣0  5⎦ = 5I₂ - 2p

3. 3. Determinați numerele reale a pentru care det(B(a) + A) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 2 sau a = −4

   3. det(B(a) + A) = |a + 1, 3; 3, a + 1| = (a + 1)² − 3² - 3p a = 2 sau a = −4 - 2p

4. 4. Determinați numărul real a pentru care B(a) · B(−2) = B(0) − I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   4.

   B(a) · B(−2) = ⎡1     a  ⎤
                  ⎣a  1 − 2a⎦, pentru orice număr real a - 2p
   Cum B(0) − I₂ = ⎡1   1⎤
                    ⎣1  −1⎦, obținem
   ⎡1   1⎤ = ⎡1     a  ⎤ ⇔ a = 1 - 3p
   ⎣1  −1⎦   ⎣a  1 − 2a⎦

5. 5. Demonstrați că matricea B(a − 1) este inversabilă, pentru orice număr rațional a.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea, 5.

   det(B(a − 1)) = │a + 1    1  │ = a² − 2, pentru orice număr real a - 2p
                   │  1    a − 1│

   Cum a este număr rațional, obținem a² − 2 ≠ 0, deci matricea B(a − 1) este inversabilă - 3p

6. 6. Determinați matricea X ∈ M₂(ℝ), știind că X · B(0) = A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎡2 −5⎤ ⎣1 0⎦

   6. Inversa matricei B(0) este matricea

   ⎡0   1⎤
   ⎣1  −2⎦ - 2p
   X = ⎡−1  2⎤ · ⎡0   1⎤ = ⎡2  −5⎤ - 3p
       ⎣ 2  1⎦   ⎣1  −2⎦   ⎣1   0⎦