Matematică pedagogic, model de subiect 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (2/5)⁻¹ + 2½ = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   (2/5)⁻¹ = 5/2, 2½ = 5/2 - 3p (2/5)⁻¹ + 2½ = 5/2 + 5/2 = 5 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 1. Determinați numărul real a pentru care f(a) este media aritmetică a…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   f(a) = a + 1, f(1) = 2, f(5) = 6 - 3p a + 1 = (2 + 6)/2, de unde obținem a = 3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2√(x − 1) + 3 = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2√(x − 1) = 2, de unde obținem x − 1 = 1 - 3p x = 2, care convine - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {1, 2, 3, …, 2022}, acesta să fie multiplu de 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   Mulțimea M are 2022 de elemente, deci sunt 2022 de cazuri posibile - 2p Multiplii de 2 din M sunt 2·1, 2·2, 2·3, …, 2·1011, deci sunt 1011 cazuri favorabile p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 1/2 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 3), B(−2, −1) și C(1, −1). Arătați că triunghiul ABC este…

   −+din 5
   Arată baremul

   BC = 3, AC = 4, AB = 5 - 3p BC² + AC² = AB², deci triunghiul ABC este dreptunghic în C - 2p

6. 6. Lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC este 5, iar BC = 10. Calculați sin A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   10/sin A = 2 · 5 - 3p sin A = 1 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că (−5) ∘ (−6) = −2.

   −+din 5
   Arată baremul

   (−5) ∘ (−6) = (−5) · (−6) + 8(−5 − 6) + 56 = - 3p = 30 − 88 + 56 = −2 - 2p

2. 2. Demonstrați că x ∘ y = (x + 8)(y + 8) − 8, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∘ y = xy + 8x + 8y + 64 − 8 = - 3p = x(y + 8) + 8(y + 8) − 8 = (x + 8)(y + 8) − 8, pentru orice numere reale x și y - 2p

3. 3. Arătați că e = −7 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∘ (−7) = (x + 8)(−7 + 8) − 8 = x + 8 − 8 = x, pentru orice număr real x - 2p (−7) ∘ x = (−7 + 8)(x + 8) − 8 = x + 8 − 8 = x, pentru orice număr real x, deci e = −7 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

4. 4. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația x ∘ (x + 2) ≤ −8.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ [−10, −8]

   x ∘ (x + 2) = (x + 8)(x + 10) − 8 - 2p (x + 8)(x + 10) − 8 ≤ −8 ⇔ (x + 8)(x + 10) ≤ 0, de unde obținem x ∈ [−10, −8] - 3p

5. 5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2ˣ ∘ (−7) = 16.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   2ˣ ∘ (−7) = 2ˣ - 3p 2ˣ = 2⁴, de unde obținem x = 4 - 2p

6. 6. Determinați numărul real a pentru care 2(a ∘ 1) = a + (a ∘ 2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -8

   a ∘ 1 = 9a + 64, a ∘ 2 = 10a + 72 - 3p 18a + 128 = 11a + 72, de unde obținem a = −8 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det A = −6.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = |0 3; 2 1| = 0·1 − 2·3 = - 3p = 0 − 6 = −6 - 2p

2. 2. Demonstrați că M(x) = ⎛ 1 3x ⎞ ⎝2x x + 1⎠, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   M(x) = ⎛1  0⎞ + ⎛ 0  3x⎞ =
          ⎝0  1⎠   ⎝2x   x⎠ - 3p
   = ⎛ 1    3x ⎞
     ⎝2x  x + 1⎠, pentru orice număr real x - 2p

3. 3. Arătați că suma elementelor matricei B este pătratul unui număr natural, unde B = (−1)·M(−1)·M(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   M(−1)·M(1) = ⎛−5  −3⎞
                 ⎝−2  −6⎠,
   B = (−1)·M(−1)·M(1) = ⎛5  3⎞
                          ⎝2  6⎠ - 3p

   5 + 3 + 2 + 6 = 16, care este pătratul numărului natural 4 - 2p

4. 4. Determinați numerele reale x pentru care det(M(x)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {−1/3, 1/2}

   det(M(x)) = x + 1 − 6x² - 2p 6x² − x − 1 = 0, deci x = −1/3 sau x = 1/2 - 3p

5. 5. Arătați că matricea C este inversabilă, unde C = M(1) − M(2) + M(3) − M(4).

   −+din 5
   Arată baremul

   C = ⎛ 0  −6⎞
       ⎝−4  −2⎠ - 3p

   det C = −24 ≠ 0, deci matricea C este inversabilă - 2p

6. 6. Determinați perechile (a, b) de numere naturale pentru care aM(b) + bM(a) = I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (a, b) ∈ {(0, 1), (1, 0)}

   aM(b) + bM(a) = ⎛ a    3ab ⎞ + ⎛ b    3ab ⎞ = ⎛a + b      6ab    ⎞
                   ⎝2ab  ab + a⎠   ⎝2ab  ab + b⎠   ⎝ 4ab   2ab + a + b⎠ - 2p
   ⎛a + b      6ab    ⎞ = ⎛1  0⎞
   ⎝ 4ab   2ab + a + b⎠   ⎝0  1⎠, de unde obținem perechile de numere naturale (0, 1) și (1, 0) - 3p