Matematică pedagogic, model de subiect 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 0,25 : 0,5 + 1/2 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   0,25 : 0,5 + 1/2 = 0,5 + 1/2 = - 3p = 1/2 + 1/2 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 4x. Determinați numerele naturale n pentru care f(n) ≥ n² − 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {0, 1, 2}

   n² − 4n ≥ n² − 8 ⇔ n ≤ 2 - 2p Cum n este număr natural, obținem n = 0, n = 1 sau n = 2 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log₂(3x − 1) = √36.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   log₂(3x − 1) = 3 ⇒ 3x − 1 = 2³ - 3p x = 3, care convine - 2p

4. 4. După o scumpire cu 20%, prețul unui produs crește cu 80 de lei. Calculați prețul final al produsului.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 480 de lei

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I / 4. (20/100)·x = 80 de lei, unde x este prețul inițial al produsului - 2p x = 80·5 = 400 de lei, deci prețul final al produsului este 480 de lei - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1, 2), B(1, m) și C(3, 6), unde m este număr real. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   Punctul C este simetricul punctului A față de punctul B, deci punctul B este mijlocul segmentului AC - 3p m = (2 + 6)/2 ⇒ m = 4 - 2p

6. 6. Arătați că sin30°·cos45° − 1/2·sin45° = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, cos45° = √2/2 - 3p sin30°·cos45° − 1/2·sin45° = 1/2·√2/2 − 1/2·√2/2 = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 2 ∘ 1 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea / 1. 2 ∘ 1 = (1/2)·2·1 − 2 − 1 + 4 = - 3p = 1 − 2 − 1 + 4 = 2 - 2p

2. 2. Demonstrați că x ∘ y = (1/2)(x − 2)(y − 2) + 2, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea / 2. x ∘ y = (1/2)xy − x − y + 2 + 2 = (1/2)x(y − 2) − (y − 2) + 2 = (y − 2)((1/2)x − 1) + 2 = - 3p = (1/2)(x − 2)(y − 2) + 2, pentru orice numere reale x și y - 2p

3. 3. Arătați că e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea / 3. x ∘ 4 = 2x − x − 4 + 4 = x, pentru orice număr real x - 2p 4 ∘ x = 2x − 4 − x + 4 = x, pentru orice număr real x, deci e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

4. 4. Arătați că numărul N = m ∘ n este natural par, pentru orice numere naturale nenule pare m și n.

   −+din 5
   Arată baremul

   m = 2k și n = 2p, unde k și p sunt numere naturale nenule - 2p N = 2(k − 1)(p − 1) + 2, deci N este număr natural par - 3p

5. 5. Determinați numerele reale x pentru care x ∘ x = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {0, 4}

   x ∘ x = (1/2)(x − 2)² + 2, deci (1/2)(x − 2)² + 2 = 4 - 2p (x − 2)² = 4, de unde obținem x = 0 sau x = 4 - 3p

6. 6. Determinați numerele reale x pentru care 4ˣ ∘ 8ˣ = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1/2 sau x = 1/3

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea / 6. (1/2)(4ˣ − 2)(8ˣ − 2) + 2 = 2 ⇔ (2²ˣ − 2)(2³ˣ − 2) = 0 - 3p x = 1/2 sau x = 1/3 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că B(1) − B(0) = I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   B(1) − B(0) = ⎛2  3⎞ − ⎛1  3⎞ =
                 ⎝3  5⎠   ⎝3  4⎠ - 3p
   = ⎛1  0⎞ = I₂
     ⎝0  1⎠ - 2p

2. 2. Arătați că B(−1)·B(−4) = 9I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea / 2.

   B(−1)·B(−4) = ⎛0  3⎞·⎛−3  3⎞ =
                 ⎝3  3⎠ ⎝ 3  0⎠ - 3p
   = ⎛9  0⎞ = 9I₂
     ⎝0  9⎠ - 2p

3. 3. Determinați numerele reale a pentru care det(B(a)) = a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a ∈ {−5, 1}

   det(B(a)) = a² + 5a − 5, pentru orice număr real a - 3p a² + 5a − 5 = a, de unde obținem a = −5 sau a = 1 - 2p

4. 4. Demonstrați că matricea C(n) = B(n) − A este inversabilă, pentru orice număr natural n.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea / 4.

   C(n) = ⎛n + 2    0  ⎞
          ⎝  0    n + 2⎠,

   deci det(C(n)) = (n + 2)², pentru orice număr natural n - 3p Cum n este număr natural, det(C(n)) ≠ 0, deci matricea C(n) este inversabilă pentru orice număr natural n - 2p

5. 5. Determinați numărul real a, știind că A·A = B(a).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 9

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea / 5.

   A·A = ⎛10   3⎞
         ⎝ 3  13⎠ - 2p
   ⎛10   3⎞ = ⎛a + 1    3  ⎞
   ⎝ 3  13⎠   ⎝  3    a + 4⎠,

   de unde obținem a = 9 - 3p

6. 6. Determinați numerele reale a, a ≥ 0, pentru care B(a) − B(√a) = O₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a ∈ {0, 1}

   B(a) = B(√a), unde a este număr real, a ≥ 0 - 2p a = √a, de unde obținem a = 0 sau a = 1, care convin - 3p