Matematică pedagogic, simulare 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră progresia aritmetică (aₙ)ₙ≥₁ cu a₁ = 6 și a₂ = 8. Calculați a₃.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 10

   r = a₂ − a₁ = 2 - 2p a₃ = 10 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 4x − 9. Determinați numărul real m pentru care punctul A(m, 3) aparține…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   f(m) = 3 ⇔ 4m − 9 = 3 - 3p m = 3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4ˣ = 2³ˣ⁻².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2²ˣ = 2³ˣ⁻² ⇒ 2x = 3x − 2 - 3p x = 2 - 2p

4. 4. La o competiție sportivă 40% dintre concurenți sunt fete. Determinați numărul total de concurenți, știind că la…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 200 de concurenți

   (40/100) · x = 80, unde x este numărul total de concurenți - 3p x = 200 de concurenți - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,1), B(1,3) și C(a,a), unde a este număr real. Determinați numărul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   M(2,2) este mijlocul segmentului AB - 2p M este mijlocul segmentului OC ⇒ (0 + a)/2 = 2, de unde obținem a = 4 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 8√3 și BC = 16. Demonstrați că triunghiul AMC este…

   −+din 5
   Arată baremul

   AC = √(BC² − AB²) = 8 - 2p CM = 8, AM = 8, deci triunghiul AMC este echilateral - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 3 ∘ 3 = 1 ∘ 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   3 ∘ 3 = 3(3 · 3 − 2 · 3 − 2 · 3) + 14 = 5 - 2p 1 ∘ 1 = 3(1 · 1 − 2 · 1 − 2 · 1) + 14 = 5 ⇒ 3 ∘ 3 = 1 ∘ 1 - 3p

2. 2. Demonstrați că x ∘ 2 = 2, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al II-lea / 2. x ∘ 2 = 3(x · 2 − 2 · x − 2 · 2) + 14 = - 3p = −12 + 14 = 2, pentru orice număr real x - 2p

3. 3. Arătați că e = 7/3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∘ (7/3) = 3(x · (7/3) − 2x − 2 · (7/3)) + 14 = 7x − 6x − 14 + 14 = x, pentru orice număr real x - 2p (7/3) ∘ x = 3((7/3) · x − 2 · (7/3) − 2x) + 14 = 7x − 14 − 6x + 14 = x, pentru orice număr real x, deci e = 7/3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

4. 4. Determinați numerele reale x pentru care x ∘ x = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = 3

   x ∘ x = 3x² − 12x + 14, pentru orice număr real x - 2p 3x² − 12x + 14 = 5, deci x² − 4x + 3 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = 3 - 3p

5. 5. Arătați că x ∘ y ≥ 2, pentru orice numere reale x ≥ 2 și y ≥ 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ≥ 2 și y ≥ 2 ⇒ x − 2 ≥ 0 și y − 2 ≥ 0, deci (x − 2)(y − 2) ≥ 0 - 2p x ∘ y = 3(x − 2)(y − 2) + 2 ⇒ x ∘ y ≥ 2, pentru orice numere reale x ≥ 2 și y ≥ 2 - 3p

6. 6. Demonstrați că, dacă m și n sunt numere naturale nenule și m ∘ n = 8, atunci m + n = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   m ∘ n = 8 ⇔ 3(m − 2)(n − 2) + 2 = 8 - 3p (m − 2)(n − 2) = 2 și, cum m și n sunt numere naturale nenule, obținem m = 4 și n = 3 sau m = 3 și n = 4, deci m + n = 7 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det A = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = │ 3   6│
           │−1  −2│ = 3 · (−2) − 6 · (−1) = - 3p

   = −6 + 6 = 0 - 2p

2. 2. Arătați că A · A = A.

   −+din 5
   Arată baremul

   SUBIECTUL al III-lea / 2.

   A · A = ⎛3 · 3 + 6 · (−1)       3 · 6 + 6 · (−2)⎞
           ⎝−1 · 3 + (−2) · (−1)   −1 · 6 + (−2) · (−2)⎠ = - 3p
   = ⎛ 3   6⎞
     ⎝−1  −2⎠ = A - 2p

3. 3. Determinați numerele reale a pentru care det(X(a)) = 2a².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1/2 sau a = 1

   X(a) = ⎛1 + 3a    6a⎞
          ⎝  −a    1 − 2a⎠

   ⇒ det(X(a)) = 1 + a - 3p 1 + a = 2a², de unde obținem a = −1/2 sau a = 1 - 2p

4. 4. Demonstrați că A · X(a) = (a + 1)A, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   A · X(a) = A · (I₂ + aA) = A · I₂ + a · A · A = A + aA = - 3p = (a + 1)A, pentru orice număr real a - 2p

5. 5. Demonstrați că X(m) · X(n) = X(m + n + mn), pentru orice numere reale m și n.

   −+din 5
   Arată baremul

   X(m) · X(n) = (I₂ + mA)(I₂ + nA) = I₂ + mA + nA + mnA = - 3p = I₂ + (m + n + mn)A = X(m + n + mn), pentru orice numere reale m și n - 2p

6. 6. Demonstrați că, dacă a și b sunt numere reale distincte pentru care X(a) · X(a) = X(b) · X(b), atunci a + b + 2 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   X(2a + a²) = X(2b + b²) ⇔ 2a + a² = 2b + b² - 2p (a − b)(a + b + 2) = 0 și, cum a și b sunt numere reale distincte, obținem a + b + 2 = 0 - 3p