Matematică pedagogic, sesiunea iunie-iulie 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 3·(1,5 − 0,3) + 0,8:2 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   3·(1,5 − 0,3) + 0,8:2 = 3·1,2 + 0,4 = - 3p = 3,6 + 0,4 = 4 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1. Determinați numărul real a pentru care f(a) = f(3) − a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2. f(3) = 7, f(a) = 2a + 1, pentru orice număr real a - 3p 2a + 1 = 7 − a, de unde obținem a = 2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(5x − 12) = log₂(2x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   5x − 12 = 2x - 3p x = 4, care convine - 2p

4. 4. După o scumpire cu 35%, un obiect costă 54 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 40 de lei

   x + (35/100)·x = 54, unde x este prețul obiectului înainte de scumpire - 3p x = 40 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,5), B(4,1), C(6,0) și M, mijlocul segmentului AB. Arătați că OM = CM.

   −+din 5
   Arată baremul

   M(3,3), de unde obținem OM = 3√2 - 3p CM = 3√2, deci OM = CM - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 16 și 5AB = 4BC. Arătați că AC = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   BC = 20 - 2p AC² = 20² − 16² = 144, de unde obținem AC = 12 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 0 ∗ 2 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 0 ∗ 2 = 0 · 2 − 6(0 + 2) + 14 = - 3p = 0 − 12 + 14 = 2 - 2p

2. 2. Arătați că legea de compoziție „∗” este comutativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. y ∗ x = yx − 6(y + x) + 14 = xy − 6(x + y) + 14 = - 3p = x ∗ y, deci legea de compoziție „∗” este comutativă - 2p

3. 3. Determinați numărul real x pentru care x ∗ 4 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -7

   x ∗ 4 = −2x − 10, pentru orice număr real x - 3p −2x − 10 = 4, de unde obținem x = −7 - 2p

4. 4. Determinați perechile (m, n) de numere naturale, cu m < n, pentru care (−m) ∗ (−n) = (m ∗ n) + 36.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(0, 3), (1, 2)}

   4. (−m) ∗ (−n) = mn + 6(m + n) + 14, pentru orice numere naturale m și n - 2p mn + 6(m + n) + 14 = mn − 6(m + n) + 14 + 36, deci m + n = 3 și, cum m și n sunt numere naturale, cu m < n, obținem perechile (0,3) și (1,2) - 3p

5. 5. Determinați numărul real x pentru care (1 + 3ˣ) ∗ (1 − 3ˣ) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1/2

   5. (1 + 3ˣ) ∗ (1 − 3ˣ) = −3²ˣ + 3, pentru orice număr real x - 3p −3²ˣ + 3 = 0 ⇔ 3²ˣ = 3, de unde obținem x = 1/2 - 2p

6. 6. Arătați că x ∗ (1/x) ≤ 3, pentru orice x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ (1/x) = 1 − 6(x² + 1)/x + 14 = 12 − 6(x² + 1)/x + 3 = - 2p = −6(x² − 2x + 1)/x + 3 = −6(x − 1)²/x + 3 ≤ 3, pentru orice x ∈ (0,+∞) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(M(1)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. M(1) = [[2, 3], [1, 2]] ⇒ det(M(1)) = |2 3; 1 2| = 2·2 − 3·1 = - 3p = 4 − 3 = 1 - 2p

2. 2. Arătați că M(1) + 2M(4) = 3M(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   M(1) + 2M(4) = ⎛ 2  3 ⎞ + ⎛ 4  24 ⎞ = ⎛ 6  27 ⎞ =
                   ⎝ 1  2 ⎠   ⎝ 8   4 ⎠   ⎝ 9   6 ⎠

   - 3p

   = 3⎛ 2  9 ⎞ = 3M(3)
      ⎝ 3  2 ⎠

   - 2p

3. 3. Determinați numărul real a pentru care M(2)·M(−2) = aI₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -8

   3. M(2) = [[2, 6], [2, 2]], M(−2) = [[2, −6], [−2, 2]], M(2)·M(−2) = [[−8, 0], [0, −8]] = −8I₂ - 3p aI₂ = −8I₂, de unde obținem a = −8 - 2p

4. 4. Determinați numerele reale x pentru care det(M(x) + M(−2x)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −2 sau x = 2

   4. M(−2x) = [[2, −6x], [−2x, 2]], M(x) + M(−2x) = [[4, −3x], [−x, 4]], det(M(x) + M(−2x)) = 16 − 3x², pentru orice număr real x - 3p 16 − 3x² = 4, de unde obținem x = −2 sau x = 2 - 2p

5. 5. Determinați numerele reale x și y pentru care M(x)·M(−1) + M(y) = 12M(−1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −6 și y = 2

   5. M(x)·M(−1) + M(y) = [[4 − 3x, −6 + 6x], [2x − 2, −3x + 4]] + [[2, 3y], [y, 2]] = [[6 − 3x, −6 + 6x + 3y], [2x − 2 + y, −3x + 6]], pentru orice numere reale x și y - 3p [[6 − 3x, −6 + 6x + 3y], [2x − 2 + y, −3x + 6]] = [[24, −36], [−12, 24]], de unde obținem x = −6 și y = 2 - 2p

6. 6. Demonstrați că numărul natural N = det(2M(1) + nI₂) este multiplu de 4, pentru orice număr natural par n.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. 2M(1) + nI₂ = [[4 + n, 6], [2, 4 + n]], N = n² + 8n + 4, pentru orice număr natural n - 3p Pentru n = 2k, unde k este număr natural, obținem N = 4(k² + 4k + 1), deci N este multiplu de 4, pentru orice număr natural par n - 2p