Matematică pedagogic, model de subiect 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră progresia aritmetică (aₙ)ₙ≥1 cu a₂ = 4 și a₃ = 6. Calculați a₁.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   a₂ = (a₁ + a₃)/2 - 3p a₁ = 2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − x + 4. Arătați că f(0) = f(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   2. f(0) = 4 - 2p f(1) = 4, deci f(0) = f(1) - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7³ˣ⁻² − 49·7ˣ = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   7³ˣ⁻² = 7ˣ⁺², deci 3x − 2 = x + 2, de unde obținem 2x = 4 - 3p x = 2 - 2p

4. 4. După ce parcurge 75% din lungimea unui traseu montan, un alpinist constată că mai are de parcurs 2 km până la finalul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 8 km

   x − (75/100)·x = 2, unde x reprezintă lungimea traseului - 3p x = 8 km - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,3) și B(5,7). Determinați lungimea segmentului AC, știind că…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 10

   5. AB = √(3² + 4²) = 5 - 3p AC = 2AB = 10 - 2p

6. 6. Arătați că 4(sin 60°·cos 30° − sin 45°·cos 45°) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin 60° = cos 30° = √3/2, sin 45° = cos 45° = √2/2 - 2p 4(sin 60°·cos 30° − sin 45°·cos 45°) = 4((√3/2)·(√3/2) − (√2/2)·(√2/2)) = 4·(1/4) = 1 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că (−2) ∘ 4 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (−2) ∘ 4 = (−2 + 4)/2 − 1 = - 3p = 1 − 1 = 0 - 2p

2. 2. Arătați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   y ∘ x = (y + x)/2 − 1 = - 3p = (x + y)/2 − 1 = x ∘ y, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∘” este comutativă - 2p

3. 3. Demonstrați că (2x + 1) ∘ 1 = x, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   3. (2x + 1) ∘ 1 = (2x + 1 + 1)/2 − 1 = - 2p = x + 1 − 1 = x, pentru orice număr real x - 3p

4. 4. Determinați numerele reale x pentru care x² ∘ x = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −3 sau x = 2

   4. x² ∘ x = (x² + x)/2 − 1, pentru orice număr real x - 2p (x² + x)/2 − 1 = 2, deci x² + x − 6 = 0, de unde obținem x = −3 sau x = 2 - 3p

5. 5. Arătați că (x² + 3) ∘ (4x + 5) ≥ 1, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   (x² + 3) ∘ (4x + 5) = (x² + 3 + 4x + 5)/2 − 1 = (x² + 4x + 6)/2, pentru orice număr real x - 2p (x² + 4x + 6)/2 = (x² + 4x + 4)/2 + 1 = (x + 2)²/2 + 1 ≥ 1, pentru orice număr real x - 3p

6. 6. Determinați perechile (m,n) de numere naturale, cu m < n, pentru care m ∘ n ≤ 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (0,1) și (0,2)

   6. m ∘ n = (m + n − 2)/2, pentru orice numere naturale m și n - 2p (m + n − 2)/2 ≤ 0 ⇔ m + n ≤ 2 și, cum m și n sunt numere naturale, cu m < n, obținem perechile (0,1) și (0,2) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(A(2)) = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(2) = [1 2; 2 3] ⇒ det(A(2)) = |1 2; 2 3| = 1·3 − 2·2 = - 3p = 3 − 4 = −1 - 2p

2. 2. Arătați că A(2) + A(0) = 2A(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   A(2) + A(0) = [1 2; 2 3] + [−1 0; 0 1] = [0 2; 2 4] = - 3p = 2[0 1; 1 2] = 2A(1) - 2p

3. 3. Arătați că A(0)·A(0) = I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   3. A(0)·A(0) = [[(−1)·(−1) + 0·0, (−1)·0 + 0·1], [0·(−1) + 1·0, 0·0 + 1·1]] = - 3p = [[1, 0], [0, 1]] = I₂ - 2p

4. 4. Demonstrați că matricea A(a) este inversabilă, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   det(A(a)) = |a−1 a; a a+1| = (a−1)(a+1) − a² = - 3p = a² − 1 − a² = −1, deci det(A(a)) ≠ 0, de unde obținem că matricea A(a) este inversabilă, pentru orice număr real a - 2p

5. 5. Determinați numerele reale a pentru care det(A(a) + aI₂) = 11.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −2 sau a = 2

   5. A(a) + aI₂ = [[2a − 1, a], [a, 2a + 1]] ⇒ det(A(a) + aI₂) = 3a² − 1, pentru orice număr real a - 3p 3a² − 1 = 11, de unde obținem a = −2 sau a = 2 - 2p

6. 6. Se consideră matricea C(a,b) = aA(b) + bA(a), unde a și b sunt numere reale. Determinați perechile (a,b) de numere…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (1,3) și (3,1)

   C(a,b) = aA(b) + bA(a) = [2ab−a−b 2ab; 2ab 2ab+a+b], unde a și b sunt numere reale - 2p 8ab = 24, deci ab = 3 și, cum a și b sunt numere naturale, obținem perechile (1,3) și (3,1) - 3p