Matematică pedagogic, simulare 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √5(2√5 + √10) − 2 − 5√2 = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. √5(2√5 + √10) − 2 − 5√2 = 2·5 + √50 − 2 − 5√2 = 10 + 5√2 − 2 − 5√2 = - 3p = 10 − 2 = 8 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 1 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x + 7. Determinați abscisa punctului de…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   f(x) = g(x), deci 3x − 1 = x + 7 - 3p x = 4 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3^(3x) · (1/3³) = 9ˣ.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   3. 3^(3x−3) = 3^(2x), de unde obținem 3x − 3 = 2x - 3p x = 3 - 2p

4. 4. În cadrul unei campanii promoționale toate produsele se vând cu 70% din prețul afișat la raft, iar produsele…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 567 de lei

   (70/100)·900 = 630 de lei - 2p 630 − (10/100)·630 = 567 de lei este prețul de vânzare al produsului - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 5), B(5, 3), C(8, 4) și D, mijlocul segmentului AB. Arătați că…

   −+din 5
   Arată baremul

   D(3, 4) - 2p OD = √(3² + 4²) = 5, DC = 5, deci triunghiul ODC este isoscel - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 4 și sin B = 1/3. Arătați că AC = √2.

   −+din 5
   Arată baremul

   AC/BC = 1/3, deci BC = 3AC - 2p 4² + AC² = 9AC², deci AC² = 2, de unde obținem AC = √2 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 2 ∘ 3 = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   2 ∘ 3 = 2 + 3 − (2·3)/6 + 1 = - 3p = 5 − 1 + 1 = 5 - 2p

2. 2. Arătați că x ∘ y = 7 − (1/6)(x−6)(y−6), pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∘ y = x − xy/6 + y − 6 + 7 = −(x/6)(y−6) + (y−6) + 7 = - 3p = (y−6)(−x/6+1) + 7 = 7 − (1/6)(x−6)(y−6), pentru orice numere reale x și y - 2p

3. 3. Determinați numărul real x pentru care x ∘ 4 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -3

   x ∘ 4 = x/3 + 5, pentru orice număr real x - 3p x/3 + 5 = 4, de unde obținem x = −3 - 2p

4. 4. Determinați perechile (m, n) de numere întregi, cu m < n, pentru care m ∘ n = 1/6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(−35, 5), (7, 47)}

   m ∘ n = 7 − (1/6)(m − 6)(n − 6), de unde obținem (m − 6)(n − 6) = 41 - 3p Cum m și n sunt numere întregi cu m < n, obținem perechile (−35, 5) și (7, 47) - 2p

5. 5. Determinați numerele reale x pentru care (0 ∘ x) ∘ (x + 1) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {−1, 11}

   0 ∘ x = x + 1, (0 ∘ x) ∘ (x + 1) = 7 − (1/6)(x − 5)², pentru orice număr real x - 3p 7 − (1/6)(x − 5)² = 1, deci (x − 5)² = 36, de unde obținem x = −1 sau x = 11 - 2p

6. 6. Determinați tripletele (a,b,c) de numere reale, știind că numerele a, b și c sunt, în această ordine, termeni…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (−12,−6,0) și (6,12,18)

   7 − (1/6)(b−6)(c−6) = −5 și, cum c = b + 6, obținem b² − 6b − 72 = 0 - 3p b = −6 sau b = 12, deci tripletele sunt (−12,−6,0) și (6,12,18) - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(B(1)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   B(1) = [2 4; 0 1] ⇒ det(B(1)) = |2 4; 0 1| = 2·1 − 4·0 = - 3p = 2 − 0 = 2 - 2p

2. 2. Arătați că B(1) · B(2) − B(2) = 11A.

   −+din 5
   Arată baremul

   B(2) = ⎛ 4  7⎞
          ⎝−1  1⎠,
   B(1) · B(2) = ⎛ 4  18⎞
                 ⎝−1   1⎠ - 3p
   B(1) · B(2) − B(2) = ⎛0  11⎞ = 11⎛0  1⎞ = 11A
                        ⎝0   0⎠     ⎝0  0⎠ - 2p

3. 3. Determinați numărul real a pentru care det(B(−1) + aA) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   B(−1) + aA = ⎛−2  −2 + a⎞
                ⎝ 2     1  ⎠ ⇒ det(B(−1) + aA) = 2 − 2a, pentru orice număr real a - 3p

   2 − 2a = 0, de unde obținem a = 1 - 2p

4. 4. Arătați că B(−x) + 2B(x) = 3B(x/3), pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   B(−x) = [−2x −3x+1; 1+x 1] ⇒ B(−x) + 2B(x) = [2x 3x+3; 3−x 3] = - 3p = 3[2·(x/3) 3·(x/3)+1; 1−x/3 1] = 3B(x/3), pentru orice număr real x - 2p

5. 5. Determinați numărul real x pentru care A·(B(x) + I₂) = B(x)·A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   B(x) + I₂ = [2x+1 3x+1; 1−x 2], A·(B(x) + I₂) = [1−x 2; 0 0], pentru orice număr real x - 3p B(x)·A = [0 2x; 0 1−x], deci [1−x 2; 0 0] = [0 2x; 0 1−x], de unde obținem x = 1 - 2p

6. 6. Arătați că, pentru orice numere întregi m și n, numărul N = det(B(2m) − B(2n + 1)) este natural, multiplu impar de 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   B(2m) − B(2n + 1) = ⎛4m − 4n − 2  6m − 6n − 3⎞
                       ⎝1 − 2m + 2n        0       ⎠,

   pentru orice numere întregi m și n - 2p N = 3(1 − 2m + 2n)² și, cum (1 − 2m + 2n)² este număr natural impar, obținem că numărul N este natural, multiplu impar de 3, pentru orice numere întregi m și n - 3p