Matematică științele naturii, sesiunea august 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 3(4−i)+3i(1+i) = 9, unde i² = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 3(4−i)+3i(1+i) = 12−3i+3i+3i² = - 3p = 12−3 = 9 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 4. Calculați (f ∘ f)(2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -4

   2. f(2) = 0 - 2p f(f(2)) = f(0) = −4 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(x² − 2x + 4) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. x² − 2x + 4 = 3 ⇒ x² − 2x + 1 = 0 - 3p x = 1, care convine - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/10

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9 numere divizibile cu 10, deci sunt 9 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 9/90 = 1/10 - 1p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,4) și B(3,a), unde a este număr real. Determinați numărul real a,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   5. m_OA = 2, m_OB = a/3, unde a este număr real - 2p m_OA = m_OB ⇔ a = 6 - 3p

6. 6. Se consideră E(x) = cos x + cos 2x + cos 3x, unde x este număr real. Arătați că E(π/4) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. E(π/4) = cos(π/4) + cos(π/2) + cos(3π/4) = - 2p = √2/2 + 0 + (−√2/2) = 0 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1,1)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   A(1,1) = ⎛ 4   4⎞
            ⎝−2  −2⎠ ⇒ det(A(1,1)) = | 4   4 |

   |−2 −2 | = - 2p = −8−(−8) = 0 - 3p

2. 1. b) Demonstrați că, dacă matricea A(x,y) este inversabilă, atunci |x| ≠ |y|.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) det(A(x,y)) = | x+3y 4y | | −2y x−3y | = x²−y², pentru orice numere reale x și y - 2p A(x,y) este inversabilă ⇔ det(A(x,y)) ≠ 0 ⇔ x²−y² ≠ 0, deci |x| ≠ |y| - 3p

3. 1. c) Determinați perechile (m,n), de numere întregi, pentru care A(m,n) · A(−m,n) = I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m,n) = (0,1) sau (0,−1)

   c) A(m,n) · A(−m,n) =

   ⎛m+3n    4n ⎞ ⎛−m+3n     4n ⎞
   ⎝ −2n   m−3n⎠ ⎝ −2n    −m−3n⎠
   = ⎛n²−m²    0   ⎞
     ⎝  0     n²−m²⎠, pentru orice numere întregi m și n - 3p
   ⎛n²−m²    0   ⎞   ⎛1  0⎞
   ⎝  0     n²−m²⎠ = ⎝0  1⎠ ⇔ n²−m² = 1 ⇔ (n−m)(n+m) = 1 și, cum m și n sunt numere întregi, obținem perechile (0,1) sau (0,−1) - 2p

4. 2. a) Arătați că 2 ∘ 0 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 2 ∘ 0 = 4^(2·0) − (1 − 2 − 0) = - 3p = 1 − 1 + 2 = 2 - 2p

5. 2. b) Arătați că x ∘ (1/x) ≥ 5, pentru orice x ∈ A, x ≠ 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) x ∘ (1/x) = 4^(x·(1/x)) − 1 + x + 1/x = x + 1/x + 3 = x + 1/x − 2 + 5 = - 2p = (x² + 1 − 2x)/x + 5 = (x − 1)²/x + 5 ≥ 5, pentru orice x ∈ A, x ≠ 0 - 3p

6. 2. c) Demonstrați că, dacă m și n sunt numere naturale impare, atunci m ∘ n este număr natural impar.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) m și n sunt numere naturale impare, deci m ≥ 1 și n ≥ 1 ⇒ mn ≥ 1, de unde obținem că 4^(mn) este număr natural par - 2p m și n sunt numere naturale impare, deci m + n − 1 este număr natural impar, de unde obținem că m ∘ n = 4^(mn) + m + n − 1 este număr natural impar - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 3(x − 1)(x² + x + 1)/x, x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = 3x² − 3·(1/x) = - 3p = 3(x³ − 1)/x = 3(x − 1)(x² + x + 1)/x, x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 1

   1. b) f(1) = 1, f′(1) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = 1 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că x³ ≥ 3ln x + 1, pentru orice x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c) f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru x ∈ (0, 1], obținem f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1] și pentru x ∈ [1, +∞), obținem f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 3p f(x) ≥ f(1), pentru orice x ∈ (0, +∞) și, cum f(1) = 1, obținem că x³ ≥ 3ln x + 1, pentru orice x ∈ (0, +∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² (f(x)/eˣ) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀² (f(x)/eˣ) dx = ∫₀² x dx = [x²/2]₀² = - 3p = 2−0 = 2 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₋₁¹ (f(x)+eˣ) dx = (e²+1)/e.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₋₁¹ (f(x)+eˣ) dx = ∫₋₁¹ (xeˣ+eˣ) dx = ∫₋₁¹ (xeˣ)′ dx = [xeˣ]₋₁¹ = - 3p = e+e⁻¹ = (e²+1)/e - 2p

6. 2. c) Demonstrați că ∫_{−1−a}^{−1+a} f(x) dx ≥ −2a/e, pentru orice a ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x) = (x+1)eˣ, deci f′(x) = 0 ⇔ x = −1 și, cum f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−∞,−1] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [−1,+∞), obținem că f(x) ≥ f(−1), pentru orice număr real x - 2p f(−1) = −1/e, deci ∫_{−1−a}^{−1+a} f(x) dx ≥ −(1/e)∫_{−1−a}^{−1+a} dx = −(1/e)[x]_{−1−a}^{−1+a} = −2a/e, pentru orice a ∈ (0,+∞) - 3p