Matematică științele naturii, sesiunea august 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 3 − 4i + i(4 − i) = 4, unde i² = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 3 − 4i + i(4 − i) = 3 − 4i + 4i − i² = - 3p = 3 + 1 = 4 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 4 − 2x. Arătați că (f ∘ f)(1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. f(1) = 2 - 2p (f ∘ f)(1) = f(f(1)) = f(2) = 0 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₅(x²−2x+6) = log₅ 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 2

   3. x²−2x+6 = 6, deci x²−2x = 0 - 2p x = 0 sau x = 2, care convin - 3p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2/45

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 4 numere divizibile cu 3 și cu 7, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p = 4/90 = 2/45 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2), B(a, 0) și C(0, b). Determinați numerele reale a și b, știind…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 2 și b = 4

   5. A((a + 0)/2, (0 + b)/2) - 3p a = 2 și b = 4 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, cu AB = AC = 10 și BC = 16. Arătați că AD = 6, unde AD este înălțime în triunghiul ABC.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. Triunghiul ABD este dreptunghic în D și BD = 8 - 3p AD = √(100 − 64) = 6 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(B(2)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a)

   B(2) = ⎛3  5⎞
          ⎝1  3⎠

   ⇒ det(B(2)) = |3 5; 1 3| = 3·3 − 5·1 = - 3p = 9 − 5 = 4 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real a pentru care B(0)·B(1) = aA.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   1. b)

   B(0)·B(1) = ⎛ 1   1⎞⎛2  3⎞ = ⎛ 2   4⎞ = 2⎛ 1   2⎞ = 2A - 3p
               ⎝−1  −1⎠⎝0  1⎠   ⎝−2  −4⎠    ⎝−1  −2⎠

   aA = 2A, de unde obținem a = 2 - 2p

3. 1. c) Determinați numărul real x pentru care A·B(x) = A·(B(0)−3I₂).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   1. c)

   A·B(x) = ⎛ 3x−1   6x−1⎞,
            ⎝−3x+1  −6x+1⎠

   pentru orice număr real x,

   A·(B(0)−3I₂) = ⎛−4  −7⎞ - 3p
                   ⎝ 4   7⎠
   ⎛ 3x−1   6x−1⎞ = ⎛−4  −7⎞,
   ⎝−3x+1  −6x+1⎠   ⎝ 4   7⎠

   de unde obținem x = −1 - 2p

4. 2. a) Pentru m = 0, arătați că f(1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) f = X³ + 2X² − 3 ⇒ f(1) = 1³ + 2·1² − 3 = - 3p = 1 + 2 − 3 = 0 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul X + 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   b) f(−1) = (−1)³ + 2(−1)² + m·(−1) − 3 = −m − 2 - 3p −m − 2 = 0, de unde obținem m = −2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real m pentru care (1 − x₁)(1 − x₂)(1 − x₃) = x₁x₂x₃, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   c) (1 − x₁)(1 − x₂)(1 − x₃) = f(1) = m, pentru orice număr real m - 3p x₁x₂x₃ = 3, deci m = 3 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 3x(x − 4)/(x² + x − 2)², x ∈ (1, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = [6x(x² + x − 2) − 3x²(2x + 1)]/(x² + x − 2)² = - 3p = (3x² − 12x)/(x² + x − 2)² = 3x(x − 4)/(x² + x − 2)², x ∈ (1, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 3

   b) limₓ→₊∞ f(x) = limₓ→₊∞ 3x²/(x² + x − 2) = limₓ→₊∞ 3/(1 + 1/x − 2/x²) = 3 - 3p Dreapta de ecuație y = 3 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Demonstrați că f(x) + f(x²) ≥ 17/3, pentru orice x ∈ (1, 2].

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (1, 4] ⇒ f este descrescătoare pe (1, 4] - 2p 1 < x ≤ 2 ⇒ 1 < x² ≤ 4, deci f(x) ≥ f(2) și f(x²) ≥ f(4) și, cum f(2) = 3 și f(4) = 8/3, obținem f(x) + f(x²) ≥ 17/3, pentru orice x ∈ (1, 2] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₃⁷ f(x)/(x−1)² dx = 20.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₃⁷ f(x)/(x−1)² dx = ∫₃⁷ x dx = [x²/2]₃⁷ = - 3p = 49/2 − 9/2 = 20 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₂³ x/f(x) dx = 1/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₂³ x/f(x) dx = ∫₂³ (x−1)′/(x−1)² dx = [−1/(x−1)]₂³ = - 3p = −1/2 + 1 = 1/2 - 2p

6. 2. c) Arătați că ∫₀¹ x f(eˣ)/eˣ dx = (e²−5)/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) ∫₀¹ x f(eˣ)/eˣ dx = ∫₀¹ x(eˣ−1)² dx = ∫₀¹ x(e²ˣ/2−2eˣ)′ dx + [x²/2]₀¹ = - 3p = [x(e²ˣ/2−2eˣ)]₀¹ − [e²ˣ/4−2eˣ]₀¹ + 1/2 = (e²−5)/4 - 2p