Matematică științele naturii, sesiunea specială 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (√6 − 2)(√6 + 2) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (√6 − 2)(√6 + 2) = (√6)² − 2² = - 3p = 6 − 4 = 2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² + 1. Determinați numerele reale a pentru care f(a) = 1 − a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1 sau a = 0

   Reguli generale:

   2. a² + 1 = 1 − a, deci a² + a = 0 - 3p a = −1 sau a = 0 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(x² + 4) = log₄(6x − 4).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 2 sau x = 4

   Reguli generale:

   3. x² + 4 = 6x − 4, deci x² − 6x + 8 = 0 - 3p x = 2 sau x = 4, care convin - 2p

4. 4. Determinați câte numere naturale de două cifre, cu cifra zecilor număr impar, se pot forma cu elementele mulțimii {1,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 15

   4. Cifra zecilor se poate alege în 3 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 5 moduri, deci se pot forma 3 · 5 = 15 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, −5) și B(5, 5). Determinați distanța de la punctul O la mijlocul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   5. x_M = 3 și y_M = 0, unde M este mijlocul segmentului AB - 3p OM = 3 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și tg C = √3. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu…

   −+din 5
   Arată baremul

   tg C = AB/AC ⇒ AB = 6√3 - 3p 𝒜△ABC = (6 · 6√3)/2 = 18√3 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(2)) = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. a)

   A(2) = ⎛ −1  2 ⎞
          ⎝ −6  7 ⎠

   ⇒ det(A(2)) = | −1 2 ; −6 7 | = (−1) · 7 − 2 · (−6) = - 3p = −7 + 12 = 5 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(a) − I₂ = a(A(1) − I₂), pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   b)

   A(a) − I₂ = ⎛ −a   a  ⎞ = a ⎛ −1  1 ⎞
               ⎝ −3a  3a ⎠     ⎝ −3  3 ⎠,

   pentru orice număr real a - 2p

   A(1) = ⎛ 0   1 ⎞ ⇒ a(A(1) − I₂) = a ⎛ −1  1 ⎞,
          ⎝ −3  4 ⎠                     ⎝ −3  3 ⎠

   deci A(a) − I₂ = a(A(1) − I₂), pentru orice număr real a - 3p

3. 1. c) Determinați numărul întreg m pentru care A(m) · A(2m) = A(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   Reguli generale:

   c) A(m) · A(2m) = A(4m² + 3m), pentru orice număr întreg m - 3p A(4m² + 3m) = A(1) și, cum m este număr întreg, obținem m = −1 - 2p

4. 2. a) Arătați că 0 ∘ 3 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) 0 ∘ 3 = 0 · 3 − 0 − 3 + 4 = - 3p = 0 − 3 + 4 = 1 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care x ∘ x = 3x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = 4

   Reguli generale:

   b) x ∘ x = x² − 2x + 4, pentru orice număr real x - 2p x² − 2x + 4 = 3x ⇔ x² − 5x + 4 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = 4 - 3p

6. 2. c) Determinați numărul real a, știind că x ∘ a = x + a, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   Reguli generale:

   c) xa − x − a + 4 = x + a ⇔ xa − 2x − 2a + 4 = 0, pentru orice număr real x - 2p x(a − 2) − 2a + 4 = 0 și, cum egalitatea are loc pentru orice număr real x, obținem a = 2 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = eˣ(x² + 4x), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = eˣ(x² + 2x − 2) + eˣ(2x + 2) = - 3p = eˣ(x² + 2x − 2 + 2x + 2) = eˣ(x² + 4x), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→+∞} f(x)/f′(x) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. b) lim_{x→+∞} f(x)/f′(x) = lim_{x→+∞} [eˣ(x² + 2x − 2)]/[eˣ(x² + 4x)] = lim_{x→+∞} (x² + 2x − 2)/(x² + 4x) = - 2p = lim_{x→+∞} [x²(1 + 2/x − 2/x²)]/[x²(1 + 4/x)] = lim_{x→+∞} (1 + 2/x − 2/x²)/(1 + 4/x) = 1 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că e^(x+4)(x² + 2x − 2) ≤ 6, pentru orice x ∈ (−∞, 0].

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c) f′(x) = 0 ⇔ x = −4 sau x = 0; pentru x ∈ (−∞, −4] ⇒ f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, −4] și, pentru x ∈ [−4, 0] ⇒ f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−4, 0] - 2p f(x) ≤ f(−4), pentru orice x ∈ (−∞, 0] și f(−4) = 6/e⁴, deci e^(x+4)(x² + 2x − 2) ≤ 6, pentru orice x ∈ (−∞, 0] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x) − 3/x) dx = 15/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁² (f(x) − 3/x) dx = ∫₁² x³ dx = [x⁴/4]₁² = - 3p = 16/4 − 1/4 = 15/4 - 2p

5. 2. b) Demonstrați că orice primitivă G : (0,+∞) → ℝ a funcției g : (0,+∞) → ℝ, g(x) = (1/√x)f(x) este crescătoare.

   −+din 5
   Arată baremul

   G este o primitivă a funcției g ⇒ G′(x) = g(x) = (1/√x)(x³ + 3/x), x ∈ (0,+∞) - 2p (1/√x)(x³ + 3/x) > 0, pentru orice x ∈ (0,+∞), deci funcția G este crescătoare - 3p

6. 2. c) Arătați că ∫₁^{√3} (1/f(x)) dx = π/(12√3).

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁^{√3} (1/f(x)) dx = ∫₁^{√3} x/(x⁴ + 3) dx = (1/2)∫₁^{√3} (x²)′/((x²)² + 3) dx = [(1/(2√3)) arctg(x²/√3)]₁^{√3} = - 3p = (1/(2√3))(π/3 − π/6) = π/(12√3) - 2p