Matematică științele naturii, model de subiect 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 0,5 + 10·(1 − 0,75) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 0,5 + 10·(1 − 0,75) = 0,5 + 10·0,25 = - 2p = 0,5 + 2,5 = 3 - 3p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 1 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x + 1. Arătați că f(m) + g(−m) = m, pentru orice…

   −+din 5
   Arată baremul

   f(m) = 2m − 1, pentru orice număr real m - 2p g(−m) = −m + 1 ⇒ f(m) + g(−m) = 2m − 1 − m + 1 = m, pentru orice număr real m - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(x² + 6) = √(5x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 2 sau x = 3

   x² + 6 = 5x, deci x² − 5x + 6 = 0 - 2p x = 2 sau x = 3, care convin - 3p

4. 4. Se consideră mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5/9

   Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 5 divizori ai lui 30, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem p = 5/9 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,1), B(2,2) și C(4,0). Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic…

   −+din 5
   Arată baremul

   5. m_AB = 1 - 2p m_BC = −1 ⇒ m_AB · m_BC = −1, deci triunghiul ABC este dreptunghic în B - 3p

6. 6. Se consideră E(x) = 3cos²x − cos(x/2) · sin x, unde x este număr real. Arătați că E(π/3) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. cos(π/3) = 1/2, cos(π/6) = √3/2, sin(π/3) = √3/2 - 3p E(π/3) = 3 · 1/4 − (√3/2) · (√3/2) = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(6)) = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a)

   A(6) = ⎛ 6    −12 ⎞
          ⎝ 1      0 ⎠
   ⇒ det(A(6)) = │ 6    −12 │
                 │ 1      0 │ = 6 · 0 − (−12) · 1 = - 3p

   = 0 + 12 = 12 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real a pentru care A(4) · A(4) = aA(4).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   b)

   A(4) = ⎛ 4    −8 ⎞
          ⎝ 1    −2 ⎠,
   A(4) · A(4) = ⎛ 8    −16 ⎞
                 ⎝ 2     −4 ⎠ = 2A(4) - 3p

   aA(4) = 2A(4), de unde obținem a = 2 - 2p

3. 1. c) Determinați perechile (m,n) de numere naturale nenule, cu m < n, pentru care det(A(m) + A(n)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m,n) ∈ {(1,7), (2,6), (3,5)}

   c)

   A(m) + A(n) = ⎛ m+n    −2m−2n ⎞
                 ⎝  2     m+n−12 ⎠

   ⇒ det(A(m) + A(n)) = (m+n)(m+n−8), pentru orice numere naturale nenule m și n - 2p (m+n)(m+n−8) = 0 și, cum m și n sunt numere naturale nenule, cu m < n, obținem perechile (1,7), (2,6) și (3,5) - 3p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ 3 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∗ 3 = 1·3(1 + 3 − 1·3) = - 3p = 3·1 = 3 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ 2 = −x².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 4

   x ∗ 2 = 2x(2 − x), pentru orice număr real x - 2p 2x(2 − x) = −x², de unde obținem x = 0 sau x = 4 - 3p

6. 2. c) Determinați numărul întreg nenul m pentru care (1/(2m)) ∗ m = m.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   (1/(2m)) ∗ m = (2m² − m + 1)/(4m), pentru orice număr real nenul m - 2p (2m² − m + 1)/(4m) = m, deci 2m² + m − 1 = 0 și, cum m este număr întreg nenul, obținem m = −1 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (x² − 3x + 2)/x², x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = (2x · x − (x² − 2))/x² − 3/x = - 3p = (x² + 2)/x² − 3/x = (x² − 3x + 2)/x², x ∈ (0,+∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→+∞} (f(x) + 3ln x)/(x + 1) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) lim_{x→+∞} (f(x) + 3ln x)/(x + 1) = lim_{x→+∞} (x² − 2)/(x² + x) = lim_{x→+∞} [x²(1 − 2/x²)]/[x²(1 + 1/x)] = - 3p = lim_{x→+∞} (1 − 2/x²)/(1 + 1/x) = 1 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că (x² + x − 2)/x ≤ 3ln x, pentru orice x ∈ (0,2].

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x) = 0 ⇔ x = 1 sau x = 2; pentru orice x ∈ (0,1], f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe (0,1] și pentru orice x ∈ [1,2], f′(x) ≤ 0 ⇒ f este descrescătoare pe [1,2], de unde obținem f(x) ≤ f(1), pentru orice x ∈ (0,2] - 3p f(1) = −1, deci (x² − 2)/x − 3ln x ≤ −1, de unde obținem (x² + x − 2)/x ≤ 3ln x, pentru orice x ∈ (0,2] - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² (f(x) − x³) dx = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₀² (f(x) − x³) dx = ∫₀² (x + 1) dx = [x²/2 + x]₀² = - 3p = 2²/2 + 2 = 4 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ x²/(f(x) − x) dx = (ln 2)/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₀¹ x²/(f(x) − x) dx = ∫₀¹ x²/(x³ + 1) dx = (1/3)∫₀¹ (x³ + 1)′/(x³ + 1) dx = [(1/3)ln(x³ + 1)]₀¹ = - 3p = (ln 2)/3 − (ln 1)/3 = (ln 2)/3 - 2p

6. 2. c) Determinați a ∈ (−∞, 0), știind că ∫ₐ⁰ e^(−x)(f′(x) − f(x)) dx = 1 − a³e^(−a).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   2. c) ∫ₐ⁰ e^(−x)(f′(x) − f(x)) dx = ∫ₐ⁰ (e^(−x)f(x))′ dx = [e^(−x)f(x)]ₐ⁰ = 1 − e^(−a)(a³ + a + 1), unde a ∈ (−∞, 0) - 3p 1 − e^(−a)(a³ + a + 1) = 1 − a³e^(−a), de unde obținem a = −1, care convine - 2p