Matematică științele naturii, sesiunea specială 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 6 − 2√5 + √5 · (2 − √5) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 6 − 2√5 + √5 · (2 − √5) = 6 − 2√5 + 2√5 − √5 · √5 = - 2p = 6 − 5 = 1 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 3. Determinați numărul real a pentru care f(a) + f(1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2. f(a) = 2a − 3, f(1) = −1 - 3p 2a − 3 − 1 = 0, de unde obținem a = 2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 10^(x−1) = 10^(−2x) · 10².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. 10^(x−1) = 10^(−2x+2), de unde obținem x − 1 = −2x + 2 - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Determinați câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea A = {1, 2,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   4. Cifra zecilor se poate alege în 3 moduri - 3p Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 2 moduri, deci sunt 3 · 2 = 6 numere - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,6) și B(6,0). Determinați distanța dintre punctele B și M, unde…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   5. M(2,3) - 2p BM = 5 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și aria egală cu 24. Arătați că AB = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. 𝒜△ABC = (AB · AC)/2, deci 24 = (AB · 6)/2 - 3p AB = (24 · 2)/6 = 8 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) det A = |1 1| |1 2| = 1 · 2 − 1 · 1 = - 3p = 2 − 1 = 1 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care det(B(x) − xA) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   1. b)

   B(x) − xA = ⎛1     4   ⎞
               ⎝x  2x − 3⎠,

   de unde obținem det(B(x) − xA) = −2x − 3, pentru orice număr real x - 3p −2x − 3 = x, de unde obținem x = −1 - 2p

3. 1. c) Determinați numărul real x pentru care B(x) + B(x + 2) = 2A · A · A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   1. c)

   A · A = ⎛2  3⎞
           ⎝3  5⎠,
   2A · A · A = ⎛10  16⎞
                ⎝16  26⎠ - 3p
   B(x) + B(x + 2) = ⎛2x + 4  2x + 10⎞
                     ⎝4x + 4   8x + 2⎠,

   deci

   ⎛2x + 4  2x + 10⎞ = ⎛10  16⎞
   ⎝4x + 4   8x + 2⎠   ⎝16  26⎠

   și obținem x = 3 - 2p

4. 2. a) Pentru m = 6, arătați că f(1) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) f = X³ + 6X² − 2X − 4 ⇒ f(1) = 1³ + 6 · 1² − 2 · 1 − 4 = - 3p = 1 + 6 − 2 − 4 = 1 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real m pentru care (x₁x₂x₃)² = x₁ + x₂ + x₃ + x₁x₂x₃, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -12

   b) x₁ + x₂ + x₃ = −m, x₁x₂x₃ = 4 - 2p 16 = −m + 4, de unde obținem m = −12 - 3p

6. 2. c) Determinați rădăcinile polinomului f, știind că restul împărțirii lui f la polinomul X − 2 este egal cu 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: −2, −√2 și √2

   c) f(2) = 8 ⇒ 4m = 8, de unde obținem m = 2 - 2p f = X³ + 2X² − 2X − 4 = (X + 2)(X − √2)(X + √2), deci rădăcinile polinomului f sunt −2, −√2 și √2 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (x² + x − 6)/x³, x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = (−x² − 2x(3 − x))/x⁴ + 1/x = - 3p = (x − 6)/x³ + 1/x = (x² + x − 6)/x³, x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→+∞} (f(x) − ln x) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) lim_{x→+∞} (f(x) − ln x) = lim_{x→+∞} (3 − x)/x² = lim_{x→+∞} (3/x² − x/x²) = - 3p = lim_{x→+∞} (3/x² − 1/x) = 0 - 2p

3. 1. c) Arătați că 4f(x) − 1 ≥ ln 16, pentru orice x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x) = 0 ⇒ x = 2; pentru orice x ∈ (0, 2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 2] și, pentru orice x ∈ [2, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [2, +∞) - 3p f(x) ≥ f(2), pentru orice x ∈ (0, +∞) și, cum f(2) = 1/4 + ln 2, obținem 4f(x) − 1 ≥ ln 16, pentru orice x ∈ (0, +∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₂⁴ (f(x) − 1/√(x + 3)) dx = 18.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₂⁴ (f(x) − 1/√(x + 3)) dx = ∫₂⁴ 3x dx = [3x²/2]₂⁴ = - 3p = 48/2 − 12/2 = 18 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁⁶ (f(x) − 3x) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₁⁶ (f(x) − 3x) dx = ∫₁⁶ 1/√(x + 3) dx = 2∫₁⁶ (x + 3)′/(2√(x + 3)) dx = [2√(x + 3)]₁⁶ = - 3p = 6 − 4 = 2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₋₂¹ [1/(x + 3)](f(x) − 1/√(x + 3)) dx = 9(a − 2 ln 2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   2. c) ∫₋₂¹ [1/(x + 3)](f(x) − 1/√(x + 3)) dx = ∫₋₂¹ (3 − 9/(x + 3)) dx = [3x]₋₂¹ − [9 ln(x + 3)]₋₂¹ = 9(1 − ln 4) - 3p 9(1 − 2 ln 2) = 9(a − 2 ln 2), de unde obținem a = 1 - 2p