Matematică științele naturii, model de subiect 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₁ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₃ = 19 și a₄ = 25.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7

   1. Rația progresiei este r = a₄ − a₃ = 6 - 3p a₁ = a₃ − 2r = 7 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + a, unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că f(2) = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   2. f(2) = 4 + a - 2p 4 + a = 8, de unde obținem a = 4 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5²⁻ˣ − (1/625)·25ˣ = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   3. 5²⁻ˣ − 5⁻⁴·5²ˣ = 0, deci 5²⁻ˣ = 5²ˣ⁻⁴, de unde obținem 2 − x = 2x − 4 - 3p x = 2 - 2p

4. 4. Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 15

   C₆² = 6!/(2!·4!) = - 3p = 15 - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,2), B(2,0) și C(8,2). Determinați lungimea segmentului DE, unde…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   5. D(1,1) și E(5,1) - 2p DE = 4 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 6 și B = π/6. Arătați că raza cercului circumscris…

   −+din 5
   Arată baremul

   cos B = AB/BC, deci √3/2 = 6/BC, de unde obținem BC = 4√3 - 3p R = BC/2, unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC, deci R = 2√3 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = |0 −1; 2 4| = 0·4 − (−1)·2 = - 3p = 0 + 2 = 2 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care M(2)·A = xM(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   M(2) = ⎛ 2  1⎞
          ⎝−2  0⎠,
   M(2)·A = ⎛2  2⎞ = 2⎛1  1⎞ = 2M(1)
            ⎝0  2⎠    ⎝0  1⎠ - 3p

   2M(1) = xM(1), de unde obținem x = 2 - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale a pentru care (M(a) − 2I₂)·M(a) = (a + 2)I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 0 sau a = 5

   M(a) − 2I₂ = ⎛ a − 2    1⎞
                ⎝2 − 2a   −a⎠,
   (M(a) − 2I₂)·M(a) = ⎛a² − 4a + 2       0     ⎞
                        ⎝     0       a² − 4a + 2⎠,

   pentru orice număr real a - 3p

   ⎛a² − 4a + 2       0     ⎞ = ⎛a + 2    0  ⎞
   ⎝     0       a² − 4a + 2⎠   ⎝  0    a + 2⎠,

   de unde obținem a = 0 sau a = 5 - 2p

4. 2. a) Arătați că 9 ∘ 8 = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   9 ∘ 8 = (9 − 6)(8 − 6) + 6 = - 3p = 6 + 6 = 12 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 7 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∘ 7 = (x − 6)(7 − 6) + 6 = x − 6 + 6 = x, pentru orice număr real x - 2p 7 ∘ x = (7 − 6)(x − 6) + 6 = x − 6 + 6 = x, pentru orice număr real x, deci e = 7 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

6. 2. c) Determinați numerele reale nenule x pentru care x ∘ (6/x) = 6x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = 3

   x ∘ (6/x) = 6(x − 6)(1 − x)/x + 6, pentru orice număr real nenul x - 2p 6(x − 6)(1 − x)/x + 6 = 6x ⇔ x² − 4x + 3 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = 3, care convin - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 5(x − 1)(x + 1)/(2√x), x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = 2x√x + (x² − 5)·1/(2√x) = - 3p = (5x² − 5)/(2√x) = 5(x − 1)(x + 1)/(2√x), x ∈ (0,+∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că limₓ→₊∞ f′(x)/(x√x) = 5/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) limₓ→₊∞ f′(x)/(x√x) = limₓ→₊∞ 5(x − 1)(x + 1)/(2x²) = limₓ→₊∞ 5x²(1 − 1/x)(1 + 1/x)/(2x²) = - 3p = limₓ→₊∞ 5(1 − 1/x)(1 + 1/x)/2 = 5/2 - 2p

3. 1. c) Arătați că f(x + 2) − f(x) ≤ 26, pentru orice x ∈ (0,2].

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x) = 0 ⇒ x = 1; pentru orice x ∈ (0,1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0,1] și, pentru orice x ∈ [1,+∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1,+∞) - 2p x ∈ (0,2] ⇒ x + 2 ∈ (2,4], deci f(x) ≥ f(1) și f(x + 2) ≤ f(4) și, cum f(1) = −4 și f(4) = 22, obținem f(x + 2) − f(x) ≤ 26, pentru orice x ∈ (0,2] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x) − 4ln x) dx = 7/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₁² (f(x) − 4ln x) dx = ∫₁² x² dx = [x³/3]₁² = - 3p = 8/3 − 1/3 = 7/3 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ ((f(x) − x²)/x) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₁ᵉ ((f(x) − x²)/x) dx = ∫₁ᵉ (4ln x/x) dx = 4∫₁ᵉ ln x(ln x)′ dx = [2ln² x]₁ᵉ = - 3p = 2ln² e − 2ln² 1 = 2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real m pentru care ∫₁² (f(x)f″(x) + (f′(x))²) dx = m(f(2) − f(1)).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   c) ∫₁² (f(x)f″(x) + (f′(x))²) dx = ∫₁² (f(x)f′(x))′ dx = [f(x)f′(x)]₁² = f(2)f′(2) − f(1)f′(1) - 3p f′(x) = 2x + 4/x, x ∈ (0,+∞); f′(1) = f′(2) = 6, deci 6(f(2) − f(1)) = m(f(2) − f(1)) și, cum f(1) ≠ f(2), obținem m = 6 - 2p