Matematică științele naturii, sesiunea specială 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 2·(1,1 + 0,3) − 1,8 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2·(1,1 + 0,3) − 1,8 = 2·1,4 − 1,8 = - 2p = 2,8 − 1,8 = 1 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 4. Determinați numărul real a pentru care f(a) = a · f(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2. f(0) = 4, f(a) = 2a + 4, pentru orice număr real a - 2p 2a + 4 = 4a, de unde obținem a = 2 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(2 − x) = √(x² + x − 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −3 sau x = 1

   3. 2 − x = x² + x − 1, de unde obținem x² + 2x − 3 = 0 - 2p x = −3 sau x = 1, care convin - 3p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7/10

   4. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 7 numere n care verifică inegalitatea n³ > 10, deci sunt 7 cazuri favorabile, de unde obținem p = 7/10 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,4), B(2,0) și C(8,2). Determinați distanța dintre punctul A și…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   5. M(5,1), unde punctul M este mijlocul segmentului BC - 3p AM = 5 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 10 și sin B = 2/5. Arătați că AC = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin B = AC/BC, deci 2/5 = AC/10 - 3p AC = (2·10)/5 = 4 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛ 4  1⎞ ⇒ det(A(1)) = │ 4  1│ = 4·0 − 1·(−1) = - 3p
          ⎝−1  0⎠               │−1  0│

   = 0 + 1 = 1 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(2)·A(1) + 3A(−2) = 16I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(2) = ⎛ 6   2⎞
          ⎝−2  −2⎠,
   A(2)·A(1) = ⎛22   6⎞
               ⎝−6  −2⎠ - 3p
   Cum A(−2) = ⎛−2  −2⎞
               ⎝ 2   6⎠,
   obținem A(2)·A(1) + 3A(−2) = ⎛16   0⎞ = 16I₂ - 2p
                               ⎝ 0  16⎠

3. 1. c) Determinați numărul întreg nenul m pentru care matricea B(m) = (1/m)A(−m) este inversa matricei A(m).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   B(m) este inversa matricei A(m) ⇔ A(m)·B(m) = B(m)·A(m) = I₂ ⇔ ((4 − 3m²)/m)I₂ = I₂ - 3p (4 − 3m²)/m = 1, de unde obținem m = −4/3, care nu convine, sau m = 1, care convine - 2p

4. 2. a) Pentru a = 1, arătați că f(−1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   f = X³ − 3X² − 3X + 1 ⇒ f(−1) = (−1)³ − 3·(−1)² − 3·(−1) + 1 = - 3p = −1 − 3 + 3 + 1 = 0 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real a pentru care 3x₁ + 3x₂ + 3x₃ − x₁x₂x₃ = 3, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -6

   x₁ + x₂ + x₃ = 3, x₁x₂x₃ = −a ⇒ 3x₁ + 3x₂ + 3x₃ − x₁x₂x₃ = 9 + a, pentru orice număr real a - 3p 9 + a = 3, de unde obținem a = −6 - 2p

6. 2. c) Pentru a = 9, determinați rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x₁ = 3, x₂ = −√3, x₃ = √3

   f = X³ − 3X² − 3X + 9 = (X − 3)(X² − 3) - 2p Rădăcinile polinomului sunt x₁ = 3, x₂ = −√3 și x₃ = √3 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = ((x + 2)(4 − x))/eˣ, x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = (2xeˣ − (x² − 8)eˣ)/(eˣ)² = - 3p = (−x² + 2x + 8)/eˣ = ((x + 2)(4 − x))/eˣ, x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 8x − 8

   f(0) = −8, f′(0) = 8 - 2p Ecuația tangentei este y − f(0) = f′(0)(x − 0), adică y = 8x − 8 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că −4e² ≤ f(x) ≤ e³, pentru orice x ∈ [−3, 4].

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇔ x = −2 sau x = 4; pentru orice x ∈ [−3, −2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−3, −2] și, pentru orice x ∈ [−2, 4], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [−2, 4] - 3p f(−3) = e³, f(−2) = −4e² și f(4) = 8/e⁴ < e³, de unde obținem −4e² ≤ f(x) ≤ e³, pentru orice x ∈ [−3, 4] - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₂³ (f(x) − (2 ln x)/x) dx = 15.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₂³ (f(x) − (2 ln x)/x) dx = ∫₂³ 6x dx = [3x²]₂³ = - 3p = 27 − 12 = 15 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ (f(x) − 6x) dx = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁ᵉ (f(x) − 6x) dx = ∫₁ᵉ (2 ln x)/x dx = ∫₁ᵉ 2 ln x (ln x)′ dx = [ln² x]₁ᵉ = - 3p = ln² e − ln² 1 = 1 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₁ᵉ² (f(x)/x + f′(x) ln x) dx = a f(e²).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   ∫₁ᵉ² (f(x)/x + f′(x) ln x) dx = ∫₁ᵉ² (f(x) ln x)′ dx = [f(x) ln x]₁ᵉ² = f(e²) ln e² = 2f(e²) - 3p 2f(e²) = a f(e²) și, cum f(e²) ≠ 0, obținem a = 2 - 2p