Matematică științele naturii, simulare 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₄ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, în care a₁ = 2 și a₃ = 14.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 20

   1. 2r = a₃ − a₁, de unde obținem r = 6, unde r este rația progresiei aritmetice - 3p a₄ = a₃ + r, deci a₄ = 14 + 6 = 20 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + 3, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care f(0) +…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   2. f(0) = 3, (f ∘ f)(0) = f(3) = 3a + 3, pentru orice număr real a - 3p 3 + 3a + 3 = 0, de unde obținem a = −2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5ˣ − 4·5^(x−2) = 105.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   3. 5^(x−2)·21 = 105, de unde obținem 5^(x−2) = 5 - 3p x − 2 = 1, de unde obținem x = 3 - 2p

4. 4. Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A = {1, 2, 3, 9}.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 18

   Cifra unităților se poate alege în 3 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 3 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei unităților și cifrei zecilor, cifra sutelor se poate alege în câte 2 moduri, deci se pot forma 3·3·2 = 18 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 0) și B(5, 4) și dreapta d de ecuație 2x + ay = 0, unde a este…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -3

   5. M(3, 2) este mijlocul segmentului AB - 3p 2 · 3 + a · 2 = 0, de unde obținem a = −3 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 12 și C = π/6. Punctul M aparține segmentului AC astfel încât…

   −+din 5
   Arată baremul

   6. AB = 6, AC = 6√3 - 2p AM = 2√3 și, cum BM² = AM² + AB² = 48, obținem BM = 4√3 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛ 1   1 ⎞
          ⎝ −1  0 ⎠

   ⇒ det(A(1)) = | 1 1 | | −1 0 | = 1·0 − 1·(−1) = - 3p = 0 + 1 = 1 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(a+b) − A(a)·A(b) = abA(1), pentru orice numere reale a și b.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(a+b) − A(a)·A(b) =

   ⎛ 1      a+b   ⎞   ⎛ 1−ab       b+a−ab          ⎞
   ⎝ −a−b   1−a−b ⎠ − ⎝ −a−b+ab   −ab+1−a−b+ab ⎠ = - 3p
   = ⎛ ab   ab ⎞
     ⎝ −ab  0  ⎠ = abA(1), pentru orice numere reale a și b - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale a pentru care 2A(2a) − A(a)·A(a) − A(1)·A(2a−1) = 2A(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −3 sau a = 1

   A(2a) − A(a)·A(a) = a²A(1), A(2a) − A(1)·A(2a−1) = (2a−1)A(1), 2A(2a) − A(a)·A(a) − A(1)·A(2a−1) = (a²+2a−1)A(1), pentru orice număr real a - 2p (a²+2a−1)A(1) = 2A(1), de unde obținem a²+2a−1 = 2, deci a = −3 sau a = 1 - 3p

4. 2. a) Arătați că 7 ∘ 8 = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 7 ∘ 8 = ⅙(7 − 5)(8 − 5) + 5 = - 3p = 1 + 5 = 6 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care x ∘ (6x − 1) = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {0, 6}

   2.b) x ∘ (6x − 1) = x² − 6x + 10, pentru orice număr real x - 3p x² − 6x + 10 = 10, de unde obținem x = 0 sau x = 6 - 2p

6. 2. c) Determinați numerele naturale n, n ≠ 5, ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „∘” sunt numere naturale…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {9, 17, 41}

   2.c) n ∘ n′ = n′ ∘ n = 11, unde n′ este simetricul lui n, de unde obținem (n − 5)(n′ − 5) = 36 - 2p Cum n și n′ sunt numere naturale, n ≠ 5 și n′ este număr par, obținem n = 9, n = 17 și n = 41 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = ((x−1)(4x+3))/(x²(x+3)), x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = −1/x² + 4/(x+3) = - 3p = (4x²−x−3)/(x²(x+3)) = ((x−1)(4x+3))/(x²(x+3)), x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→1} (4ln(x+3) − f(x))/ln x = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_{x→1} (4ln(x+3) − f(x))/ln x = lim_{x→1} (−1/x + 1)/ln x = lim_{x→1} (−1/x + 1)′/(ln x)′ = - 3p = lim_{x→1} (1/x²)/(1/x) = 1 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că 1/x² − 1/x ≥ 4ln((x+3)/(x²+3)), pentru orice x ∈ (0, 1].

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (0, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1] - 2p Cum x ∈ (0, 1] ⇒ x ≥ x², rezultă că f(x) ≤ f(x²), de unde obținem 1/x² − 1/x ≥ 4ln((x+3)/(x²+3)), pentru orice x ∈ (0, 1] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³ f(x)eˣ dx = 27.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀³ f(x)eˣ dx = ∫₀³ (x² + 4x) dx = [x³/3 + 2x²]₀³ = - 3p = 9 + 18 = 27 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₋₁⁰ f(x)/(x + 4) dx = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.b) ∫₋₁⁰ f(x)/(x + 4) dx = ∫₋₁⁰ xe⁻ˣ dx = ∫₋₁⁰ x(−e⁻ˣ)′ dx = [−xe⁻ˣ]₋₁⁰ − [e⁻ˣ]₋₁⁰ = - 3p = −e − 1 + e = −1 - 2p

6. 2. c) Se consideră funcția g : (0, +∞) → ℝ, g(x) = f(x²)/x². Demonstrați că orice primitivă G : (0, +∞) → ℝ a funcției g…

   −+din 5
   Arată baremul

   2.c) G′(x) = g(x) = (x² + 4)e^(−x²), x ∈ (0, +∞), deci G″(x) = (x² + 4)′e^(−x²) + (x² + 4)(e^(−x²))′ = - 3p = 2xe^(−x²) + (x² + 4)(−2x)e^(−x²) = −2x(x² + 3)e^(−x²) ≤ 0, pentru orice x ∈ (0, +∞), deci funcția G este concavă - 2p