Matematică tehnologic, sesiunea august 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₁ = 4 și rația este r = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 14

   1. a₃ = 4 + 2 · 5 = - 3p = 4 + 10 = 14 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x)=x²−x−1. Arătați că f(0)=f(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   f(0)=−1 - 2p f(1)=−1, deci f(0)=f(1) - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(3x + 4) = log₄16.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 3. 3x + 4 = 16 - 3p x = 4, care convine - 2p

4. 4. După o scumpire cu 25%, un produs costă 350 de lei. Determinați prețul produsului înainte de scumpire.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 280 de lei

   x+(25/100)·x=350, unde x este prețul produsului înainte de scumpire - 3p Prețul produsului înainte de scumpire este 280 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−4,1) și B(a,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați numerele…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a=4, b=−1

   O(0,0) este mijlocul segmentului AB, deci (−4+a)/2=0 și (1+b)/2=0 - 3p a=4, b=−1 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul isoscel ABC, dreptunghic în A. Știind că aria triunghiului ABC este egală cu 8, determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 6. 𝒜△ABC = (AB·AC)/2 - 2p AB²/2 = 8 ⇔ AB² = 16, de unde obținem AB = 4 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) det A = | 5 −2 | | −1 1 | = 5 · 1 − (−2) · (−1) = - 3p = 5 − 2 = 3 - 2p

2. 1. b) Arătați că 3B(2) + B(6) = 4B(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   b)

   B(2) = ⎛ 2  −4 ⎞
          ⎝ 1  −1 ⎠

   și

   B(6) = ⎛ 6  −12 ⎞
          ⎝ 1   −1 ⎠
   ⇒ 3B(2) + B(6) = ⎛ 12  −24 ⎞
                    ⎝  4   −4 ⎠ = - 3p
   = 4 ⎛ 3  −6 ⎞
       ⎝ 1  −1 ⎠ = 4B(3) - 2p

3. 1. c) Determinați numărul real x pentru care (B(−x) − B(x)) · (B(−x) + B(x)) = A + B(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   c) (B(−x) − B(x)) · (B(−x) + B(x)) =

   = ⎛ −2x  4x ⎞ ⎛ 0   0 ⎞
     ⎝   0   0 ⎠ ⎝ 2  −2 ⎠
   = ⎛ 8x  −8x ⎞
     ⎝  0    0 ⎠,

   pentru orice număr real x - 3p

   Cum A + B(3) = ⎛ 8  −8 ⎞
                  ⎝ 0   0 ⎠,

   obținem x = 1 - 2p

4. 2. a) Arătați că 3 ∘ 4 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea, 2. a) 3 ∘ 4 = 3·3 + 4·4 − 25 = - 3p = 25 − 25 = 0 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care (2x) ∘ x = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea, 2. b) (2x) ∘ x = 10x − 25, pentru orice număr real x - 3p 10x − 25 = 5, de unde obținem x = 3 - 2p

6. 2. c) Determinați numerele întregi m pentru care m² ∘ 1 ≥ 1 ∘ m².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m ∈ {−1, 0, 1}

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea, 2. c) m² ∘ 1 = 3m² − 21 și 1 ∘ m² = 4m² − 22, pentru orice număr întreg m - 2p 3m² − 21 ≥ 4m² − 22 ⇔ −m² + 1 ≥ 0, deci m ∈ [−1, 1] și, cum m este număr întreg, obținem m = −1 sau m = 0 sau m = 1 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2/(3x + 1)², x ∈ (−1/3, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = (2(3x + 1) − 2x · 3)/(3x + 1)² = - 3p = (6x + 2 − 6x)/(3x + 1)² = 2/(3x + 1)², x ∈ (−1/3, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 2/3

   b) limₓ→₊∞ 2x/(3x + 1) = limₓ→₊∞ 2x/(x(3 + 1/x)) = limₓ→₊∞ 2/(3 + 1/x) = 2/3 - 3p Dreapta de ecuație y = 2/3 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Arătați că funcția f este concavă.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f″(x) = −12/(3x + 1)³, x ∈ (−1/3, +∞) - 3p f″(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (−1/3, +∞), deci funcția f este concavă - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁⁴ (f(x) − ln x + 1) dx = 21.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. a) ∫₁⁴ (f(x) − ln x + 1) dx = ∫₁⁴ x² dx = [x³/3]₁⁴ = - 3p = 64/3 − 1/3 = 21 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₂⁴ x/(f(x) − ln x) dx = (1/2)ln 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. b) ∫₂⁴ x/(f(x) − ln x) dx = ∫₂⁴ x/(x² − 1) dx = (1/2)∫₂⁴ (x² − 1)'/(x² − 1) dx = [(1/2)ln(x² − 1)]₂⁴ = - 3p = (1/2)ln 15 − (1/2)ln 3 = (1/2)ln 5 - 2p

6. 2. c) Determinați a ∈ (1, +∞) pentru care ∫₁ᵃ f(x)/x² dx = (a − ln a)/a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea, 2. c) ∫₁ᵃ f(x)/x² dx = ∫₁ᵃ (1 + (ln x)/x² − 1/x²) dx = ∫₁ᵃ 1 dx + ∫₁ᵃ (−1/x)' ln x dx − ∫₁ᵃ 1/x² dx = = [x]₁ᵃ − [(1/x)ln x]₁ᵃ + ∫₁ᵃ 1/x² dx − ∫₁ᵃ 1/x² dx = a − 1 − (ln a)/a, pentru orice a ∈ (1, +∞) - 3p a − 1 − (ln a)/a = (a − ln a)/a, de unde obținem a = 2, care convine - 2p