Matematică tehnologic, simulare 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Calculați termenul a₁ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₃ = 6 și a₄ = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   r = a₄ − a₃ = 3, unde r este rația progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁ - 2p a₃ = a₁ + 2r ⇒ a₁ = 6 − 2·3 = 0 - 3p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = x² + 2x − 3 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x − 3. Determinați numerele reale a pentru…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1 sau a = 0

   Reguli generale:

   2. f(a) = g(a) ⇔ a² + 2a − 3 = a − 3 ⇔ a² + a = 0 - 3p a = −1 sau a = 0 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(x + 3) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   x + 3 = 3² ⇔ x + 3 = 9 - 3p x = 6, care convine - 2p

4. 4. În urma unei scumpiri cu 30%, prețul unui produs a crescut cu 60 de lei. Determinați prețul produsului după scumpire.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 260 de lei

   (30/100)·x = 60, unde x este prețul înainte de scumpire, deci x = 200 de lei - 3p După scumpire, prețul produsului este 200 + 60 = 260 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−4, 1), B(2, 3) și dreapta d de ecuație y = 2x + a, unde a este…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   5. M(−1, 2), unde M este mijlocul segmentului AB. - 2p 2 = 2·(−1) + a, de unde obținem a = 4. - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, cu AB = AC, BC = 12 și măsura unghiului B egală cu 45°. Arătați că aria triunghiului ABC…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   6. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel, de unde obținem AB = AC = 6√2 - 3p 𝒜△ABC = (AB · AC)/2 = (6√2 · 6√2)/2 = 36 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. a)

   A(0) = ⎛ 0  0 ⎞ ⇒ det(A(0)) = | 0  0 | =
          ⎝ 1  1 ⎠               | 1  1 |

   - 3p = 0 · 1 − 0 · 1 = 0 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real a pentru care 2A(4) + A(−2) = aA(2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   Reguli generale:

   1. b)

   2A(4) + A(−2) = 2 ⎛ 4  4 ⎞ + ⎛ −2  −2 ⎞ = ⎛ 6   6 ⎞ =
                         ⎝ 1  9 ⎠   ⎝  1  −3 ⎠   ⎝ 3  15 ⎠

   - 3p

   = 3 ⎛ 2  2 ⎞ = 3A(2), de unde obținem a = 3
       ⎝ 1  5 ⎠

   - 2p

3. 1. c) Arătați că, dacă X ∈ M₂(ℝ) astfel încât X · A(1) = A(m), unde m este număr întreg, atunci matricea X are toate…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. c)

   A(1) = ⎛ 1  1 ⎞ ⇒ det(A(1)) = 2 și (A(1))⁻¹ = ⎛  3/2  −1/2 ⎞
          ⎝ 1  3 ⎠                               ⎝ −1/2   1/2 ⎠

   - 2p

   A(m) = ⎛ m     m      ⎞ și, cum X = A(m) · (A(1))⁻¹, obținem
          ⎝ 1     2m + 1 ⎠
   X = ⎛ m        0 ⎞, unde m este număr întreg, deci matricea X are toate elementele numere întregi
       ⎝ −m + 1   m ⎠

   - 3p

4. 2. a) Arătați că 2 ∗ 1 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2 ∗ 1 = (2 + 1)(2 − 1)(1 − 1) + 1 = - 3p = 3·1·0 + 1 = 1 - 2p

5. 2. b) Arătați că legea de compoziție „∗” este comutativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ y = (x + y)(x − 1)(y − 1) + 1 = - 2p = (y + x)(y − 1)(x − 1) + 1 = y ∗ x, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∗” este comutativă - 3p

6. 2. c) Determinați numerele naturale n pentru care n ∗ (1 − n) ≥ n².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n = 0 sau n = 1

   n ∗ (1 − n) = −n² + n + 1, pentru orice număr natural n - 2p −n² + n + 1 ≥ n² ⇔ 2n² − n − 1 ≤ 0 și, cum n este număr natural, obținem n = 0 sau n = 1 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (x² − x − 6)/x³, x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = (x² − (x + 3)·2x)/x⁴ + 1/x = - 3p = (−x − 6)/x³ + 1/x = (x² − x − 6)/x³, x ∈ (0, +∞). - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = −6x + 10

   1. b) f(1) = 4, f′(1) = −6. - 2p Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = −6x + 10. - 3p

3. 1. c) Demonstrați că ln(x/3) ≥ 2/3 − 1/x − 3/x², pentru orice x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c) f′(x) = 0 ⇒ x = 3; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (0, 3] ⇒ f este descrescătoare pe (0, 3], f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [3, +∞) ⇒ f este crescătoare pe [3, +∞), deci f(x) ≥ f(3), pentru orice x ∈ (0, +∞). - 3p (x + 3)/x² + ln x ≥ 2/3 + ln 3 ⇒ ln(x/3) ≥ 2/3 − (x + 3)/x² ⇒ ln(x/3) ≥ 2/3 − 1/x − 3/x², pentru orice x ∈ (0, +∞). - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² (f(x) − eˣ/2) dx = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₀² (f(x) − eˣ/2) dx = ∫₀² (x + 1) dx = [x²/2 + x]₀² = - 3p = 2²/2 + 2 = 4. - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ 2x(f(x) − 1) dx = 5/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₀¹ 2x(f(x) − 1) dx = ∫₀¹ (2x² + xeˣ) dx = [2x³/3]₀¹ + [(x − 1)eˣ]₀¹ = - 3p = 2/3 + 1 = 5/3. - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₋₁⁰ (f(x) − x)·f(x) dx = ((3e + 1)(3e + a))/(8e²).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   2. c) Cum f′(x) = 1 + eˣ/2 = f(x) − x, x ∈ ℝ, obținem ∫₋₁⁰ (f(x) − x)·f(x) dx = ∫₋₁⁰ f′(x)·f(x) dx = = [f²(x)/2]₋₁⁰ = (9e² − 1)/(8e²). - 3p (9e² − 1)/(8e²) = ((3e + 1)(3e + a))/(8e²), de unde obținem a = −1. - 2p