Matematică tehnologic, simulare 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (1 − 0,2) : 2 + 0,3 · 2 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (1 − 0,2) : 2 + 0,3 · 2 = 0,8 : 2 + 0,6 = - 3p = 0,4 + 0,6 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − 3x + 2 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x + m, unde m este număr real. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   f(2) = 0, g(2) = 2 + m - 3p 0 = 2 + m, de unde obținem m = −2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7^(x+3) = 49^x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   7^(x+3) = 7^(2x), de unde obținem x + 3 = 2x - 3p x = 3 - 2p

4. 4. După o ieftinire cu 30%, un produs costă 210 lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 300 lei

   4. x − (30/100) · x = 210, unde x este prețul înainte de ieftinire - 3p x = 300 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,5) și B(2,−1). Arătați că triunghiul OMB este dreptunghic în O,…

   −+din 5
   Arată baremul

   M(1,2), deci OM = √5 și MB = √10 - 3p OB = √5, deci MB² = OB² + OM², de unde obținem că triunghiul OMB este dreptunghic în O - 2p

6. 6. Arătați că √3 sin45° + 2sin30° − √2 cos30° = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin45° = √2/2, sin30° = 1/2, cos30° = √3/2 - 3p √3 sin45° + 2sin30° − √2 cos30° = √3 · (√2/2) + 1 − √2 · (√3/2) = 1 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(2)) = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(2) = ⎛ 4   −2 ⎞ ⇒ det(A(2)) = │ 4   −2 │ = 4 · 1 − (−2) · 2 =
          ⎝ 2    1 ⎠               │ 2    1 │ - 3p

   = 4 + 4 = 8 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care A(0) · A(0) = A(x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   A(0) = ⎛ 2   −2 ⎞ ⇒ A(0) · A(0) = ⎛ 0   −2 ⎞
          ⎝ 2   −1 ⎠                  ⎝ 2   −3 ⎠ - 3p
   ⎛ 0   −2 ⎞ = ⎛ x + 2    −2    ⎞,
   ⎝ 2   −3 ⎠   ⎝   2      x − 1 ⎠

   de unde obținem x = −2 - 2p

3. 1. c) Arătați că, dacă x și y sunt numere reale distincte astfel încât det(A(x)) = det(A(y)), atunci x + y = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   det(A(x)) = x² + x + 2, pentru orice număr real x - 2p x² + x + 2 = y² + y + 2 ⇒ (x − y)(x + y + 1) = 0 și, cum x și y sunt numere reale distincte, obținem x + y + 1 = 0, deci x + y = −1 - 3p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ 2 = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 ∗ 2 = 4 · 1 · 2 − 3 · 1 + 2 · 2 − 1 = - 3p = 8 − 3 + 4 − 1 = 8 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real x pentru care x ∗ (−1) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   2.b) x ∗ (−1) = −7x − 3, pentru orice număr real x - 2p −7x − 3 = 4 ⇒ −7x = 7, de unde obținem x = −1 - 3p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care x ∗ a = −x, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   2.c) 4ax − 3x + 2a − 1 = −x ⇒ 4ax − 2x + 2a − 1 = 0 ⇒ 2x(2a − 1) + 2a − 1 = 0, pentru orice număr real x - 3p a = 1/2 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2(x² − 4)/x², x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 2 − 8/x² = - 3p = (2x² − 8)/x² = 2(x² − 4)/x², x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 7

   f(2) = 7, f′(2) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y − f(2) = f′(2)(x − 2), adică y = 7 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că f(1 − x) ≥ f(1 + x), pentru orice x ∈ (0, 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇒ x = 2; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (0, 2] ⇒ f este descrescătoare pe (0, 2] - 2p 0 < 1 − x < 1 + x < 2, pentru orice x ∈ (0, 1), de unde obținem f(1 − x) ≥ f(1 + x), pentru orice x ∈ (0, 1) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² (f(x) − 4x) dx = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀² (f(x) − 4x) dx = ∫₀² (3x² + 2) dx = [x³ + 2x]₀² = - 3p = 2³ + 2 · 2 = 12 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ (f(x) − 3x² − 2)eˣ dx = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.b) ∫₀¹ (f(x) − 3x² − 2)eˣ dx = ∫₀¹ 4xeˣ dx = [4(x − 1)eˣ]₀¹ = - 3p = 0 + 4 = 4 - 2p

6. 2. c) Determinați a ∈ (0, +∞) pentru care ∫₋₁⁰ a · f′(x) · (f(x))^(a−1) dx = 63.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   2.c) ∫₋₁⁰ a · f′(x) · (f(x))^(a−1) dx = [(f(x))ᵃ]₋₁⁰ = 2ᵃ − 1, pentru orice a ∈ (0, +∞) - 3p 2ᵃ − 1 = 63, de unde obținem a = 6, care convine - 2p