Matematică tehnologic, sesiunea iunie-iulie 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (12/5) · (1/2 + 1/3) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (12/5) · (1/2 + 1/3) = (12/5) · (3/6 + 2/6) = - 2p = (12/5) · (5/6) = 2 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x + 1. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   2. f(a) = 5a + 1, pentru orice număr real a - 2p 5a + 1 = 6, de unde obținem a = 1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(4x + 1) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   3. 4x + 1 = 9, de unde obținem 4x = 8 - 3p x = 2, care convine - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {10,20,30,40,50,60,70,80,90}, acesta să fie…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4/9

   4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile - 2p Numerele din mulțimea A care sunt divizibile cu 20 sunt 20, 40, 60 și 80, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p = 4/9 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,0), B(8,8) și C(11,4). Arătați că AB = 2BC.

   −+din 5
   Arată baremul

   5. BC = √(3² + 4²) = 5 - 2p AB = √(6² + 8²) = 10, deci AB = 2BC - 3p

6. 6. Arătați că 1 + sin 30° = 2 sin 60° · cos 30°.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. sin 30° = 1/2, sin 60° = cos 30° = √3/2 - 3p 1 + sin 30° = 1 + 1/2 = 3/2, 2 sin 60° · cos 30° = 2 · (√3/2) · (√3/2) = 3/2 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) A(1) = ⎛ 1  0⎞
               ⎝−2  2⎠

   ⇒ det(A(1)) = | 1 0 | |−2 2 | = 1 · 2 − (−2) · 0 = - 3p = 2 − 0 = 2 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(2) + A(0) = 2A(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   b) A(2) + A(0) = ⎛ 2  1⎞ + ⎛0  −1⎞ = ⎛ 2  0⎞ =
                    ⎝−4  2⎠   ⎝0   2⎠   ⎝−4  4⎠ - 3p
   = 2⎛ 1  0⎞ = 2A(1) - 2p
      ⎝−2  2⎠

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care det(A(x) + xI₂) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1 sau x = 1/2

   c) A(x) + xI₂ = ⎛ x   x − 1⎞ + ⎛x  0⎞ = ⎛ 2x   x − 1⎞
                   ⎝−2x    2  ⎠   ⎝0  x⎠   ⎝−2x   2 + x⎠

   și det(A(x) + xI₂) = 4x² + 2x, pentru orice număr real x - 3p 4x² + 2x − 2 = 0, de unde obținem x = −1 sau x = 1/2 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ 3 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 ∘ 3 = 2(1 + 3) − 1·3 − 4 = - 3p = 8 − 3 − 4 = 1 - 2p

5. 2. b) Arătați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) y ∘ x = 2(y + x) − yx − 4 = - 2p = 2(x + y) − xy − 4 = x ∘ y, pentru orice numere reale x și y, deci legea de compoziție „∘” este comutativă - 3p

6. 2. c) Determinați numerele naturale n pentru care n ∘ n ≥ n − 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: n ∈ {1, 2}

   c) n ∘ n = 4n − n² − 4, pentru orice număr natural n - 2p 4n − n² − 4 ≥ n − 2 ⇔ −n² + 3n − 2 ≥ 0 și, cum n este număr natural, obținem n = 1 și n = 2 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2(1 − x)/x³, x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = [(2x − 1)′·x² − (2x − 1)·(x²)′]/x⁴ = [2x² − 2x(2x − 1)]/x⁴ = - 3p = (−2x² + 2x)/x⁴ = 2(1 − x)/x³, x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 1

   b) f(1) = 1, f′(1) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = 1 - 3p

3. 1. c) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: f este crescătoare pe (0, 1] și descrescătoare pe [1, +∞).

   c) f′(x) = 0 ⇔ x = 1; f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (0, 1] ⇒ f este crescătoare pe (0, 1]; - 3p f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [1, +∞) ⇒ f este descrescătoare pe [1, +∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ (x² + x + 1)f(x) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀¹ (x² + x + 1)f(x) dx = ∫₀¹ (x² + x + 1) · (2x + 1)/(x² + x + 1) dx = ∫₀¹ (2x + 1) dx = (x² + x)|₀¹ = - 3p = 1 + 1 − 0 − 0 = 2 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ f(x) dx = ln 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ (2x + 1)/(x² + x + 1) dx = ∫₀¹ (x² + x + 1)′/(x² + x + 1) dx = ln(x² + x + 1)|₀¹ = - 3p = ln 3 − ln 1 = ln 3 - 2p

6. 2. c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției g : ℝ → ℝ, g(x) = eˣ(x² + x + 1)f(x), axa Ox și dreptele…

   −+din 5
   Arată baremul

   c) g(x) = eˣ(2x + 1), x ∈ ℝ, deci 𝒜 = ∫₀¹ |g(x)| dx = ∫₀¹ eˣ(2x + 1) dx = eˣ(2x + 1)|₀¹ − ∫₀¹ 2eˣ dx = - 3p = eˣ(2x + 1)|₀¹ − 2eˣ|₀¹ = 3e − 1 − 2e + 2 = e + 1 - 2p