Matematică tehnologic, simulare 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (3 + 3/5) : 4 + 1/10 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   (3 + 3/5) : 4 + 1/10 = 18/5 · 1/4 + 1/10 = - 3p = 9/10 + 1/10 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 6. Determinați numărul real a pentru care f(1) + f(a) = 2f(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   f(0) = 6, f(1) = 9, f(a) = 3a + 6, pentru orice număr real a - 3p 9 + 3a + 6 = 12, de unde obținem a = −1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(4x − x²) = √(3x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {0, 1}

   4x − x² = 3x, de unde obținem x² − x = 0 - 2p x = 0 sau x = 1, care convin - 3p

4. 4. Se consideră mulțimea A = {0, 1, 2, …, 26}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2/9

   4. Mulțimea A are 27 de elemente, deci sunt 27 de cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 6 numere care sunt pătrate ale unor numere naturale, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem p = 6/27 = 2/9 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 4), B(3, 0) și C(4, 7). Arătați că triunghiul ABC este…

   −+din 5
   Arată baremul

   5. AB = 5, AC = 5 - 2p BC = √50, BC² = 50 = 25 + 25 = AB² + AC², deci triunghiul ABC este dreptunghic isoscel - 3p

6. 6. Arătați că 2 sin 60° + √3 sin 30° − 3 cos 30° = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. sin 60° = √3/2, sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 - 3p 2 sin 60° + √3 sin 30° − 3 cos 30° = 2·(√3/2) + √3·(1/2) − 3·(√3/2) = 3√3/2 − 3√3/2 = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(M(4)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) M(4) = [8 4; 4 2] ⇒ det(M(4)) = |8 4; 4 2| = 8·2 − 4·4 = - 3p = 16 − 16 = 0 - 2p

2. 1. b) Arătați că M(1)·M(1) − M(1) = 3I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) M(1) = [2 1; 1 −1], M(1)·M(1) − M(1) = [5 1; 1 2] − [2 1; 1 −1] = - 3p = [3 0; 0 3] = 3I₂ - 2p

3. 1. c) Demonstrați că numărul N = det(M(n) − 3(M(1))⁻¹) este natural impar, pentru orice număr natural nenul n, unde…

   −+din 5
   Arată baremul

   c) 3(M(1))⁻¹ = [1 1; 1 −2], M(n) − 3(M(1))⁻¹ = [2n−1 n−1; n−1 n], N = n² + n − 1, pentru orice număr natural nenul n - 3p N = n(n+1) − 1 și, cum n și n+1 sunt numere naturale nenule de parități diferite, obținem că numărul N este natural impar, pentru orice număr natural nenul n - 2p

4. 2. a) Arătați că 2 ∗ 5 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2 ∗ 5 = 2 · 5 − 3 · 2 − 3 · 5 + 12 = - 3p = 10 − 6 − 15 + 12 = 1 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ 4 = 4x − 3x − 12 + 12 = x, pentru orice număr real x - 2p 4 ∗ x = 4x − 12 − 3x + 12 = x, pentru orice număr real x, deci e = 4 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care (a − x) ∗ (a − x) = (a + x) ∗ (a + x), pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   (a − x) ∗ (a − x) = (a − x)² − 6(a − x) + 12, (a + x) ∗ (a + x) = (a + x)² − 6(a + x) + 12, pentru orice număr real x - 2p (a − x)² − 6(a − x) + 12 = (a + x)² − 6(a + x) + 12, deci 4x(a − 3) = 0, pentru orice număr real x, de unde obținem a = 3 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (9 − x²)/x⁴, x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1.a) f′(x) = [2x·x³ − (x² − 3)·3x²]/(x³)² = - 3p = x²(2x² − 3x² + 9)/x⁶ = (9 − x²)/x⁴, x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 8x − 10

   Reguli generale:

   1.b) f(1) = −2, f′(1) = 8 - 2p Ecuația tangentei este y − f(1) = f′(1)(x − 1), adică y = 8x − 10 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că 9f(2x) − f(x) ≤ 4, pentru orice x ∈ [1, 2].

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1.c) f′(x) = 0 ⇒ x = 3; pentru orice x ∈ (0, 3], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (0, 3] și, pentru orice x ∈ [3, +∞), f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [3, +∞) - 2p x ∈ [1, 2] ⇒ 2x ∈ [2, 4], deci f(x) ≥ f(1) și f(2x) ≤ f(3), pentru orice x ∈ [1, 2] și, cum f(1) = −2 și f(3) = 2/9, obținem 9f(2x) − f(x) ≤ 4, pentru orice x ∈ [1, 2] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀⁴ (f(x) − 2/√(x + 3)) dx = 16.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2.a) ∫₀⁴ (f(x) − 2/√(x + 3)) dx = ∫₀⁴ (x + 2) dx = [x²/2]₀⁴ + [2x]₀⁴ = - 3p = 8 + 8 = 16 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁⁶ (f(x) − x − 2) dx = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2.b) ∫₁⁶ (f(x) − x − 2) dx = ∫₁⁶ 2/√(x + 3) dx = 4∫₁⁶ (x + 3)′/(2√(x + 3)) dx = [4√(x + 3)]₁⁶ = - 3p = 12 − 8 = 4 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₋₂¹ f′(x)(1 + 1/f(x)) dx = ln(2eᵃ).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   Reguli generale:

   2.c) ∫₋₂¹ f′(x)(1 + 1/f(x)) dx = ∫₋₂¹ f′(x) dx + ∫₋₂¹ f′(x)/f(x) dx = [f(x)]₋₂¹ + [ln|f(x)|]₋₂¹ = 2 + ln 2 - 3p Cum ln(2eᵃ) = a + ln 2, obținem a = 2 - 2p