Matematică mate-info, sesiunea iunie-iulie 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (1+i)²−2(1+i)+2=0, unde i²=−1.

   −+din 5
   Arată baremul

   (1+i)²−2(1+i)+2=1+2i+i²−2−2i+2= - 3p =1−1=0 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x)=x²+ax−5, unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   f(1)=2 ⇒ 1+a−5=2 - 3p a=6 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(x²+1)=log₄x+log₄(x+1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   log₄(x²+1)=log₄(x(x+1)), deci x²+1=x²+x - 3p x=1, care convine - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/10

   Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9 numere divizibile cu 2 și cu 5, deci sunt 9 cazuri favorabile - 2p p=(nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile)=9/90=1/10 - 1p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(3,4), N(0,1) și P(3,0). Determinați ecuația dreptei d care trece…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = x − 3

   m_MN = 1 și, cum dreptele sunt paralele, obținem m_d = 1 - 3p P ∈ d, deci ecuația dreptei d este y − y_P = m_d(x − x_P), adică y = x − 3 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în C. Arătați că tg B=1/(tg A).

   −+din 5
   Arată baremul

   tg A=BC/AC - 2p tg B=AC/BC=1/(BC/AC)=1/(tg A) - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(0) = ⎛2  0  0⎞
          ⎜0  2  0⎟
          ⎝0  0  2⎠

   ⇒ det(A(0)) = |2 0 0| |0 2 0| |0 0 2| = - 2p = 8 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 8 - 3p

2. 1. b) Determinați matricea B ∈ M₃(ℝ), știind că aB = A(a) − 2I₃, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: B = ⎛1 0 −1⎞ ⎜0 0 0⎟ ⎝3 0 −3⎠

   A(a) − 2I₃ =

   ⎛a + 2  0  −a    ⎞   ⎛2  0  0⎞   ⎛a   0  −a ⎞
   ⎜0      2   0    ⎟ − ⎜0  2  0⎟ = ⎜0   0   0 ⎟,
   ⎝3a     0   2 − 3a⎠   ⎝0  0  2⎠   ⎝3a  0  −3a⎠

   pentru orice număr real a - 3p

   aB = a ⎛1  0  −1⎞
          ⎜0  0   0⎟
          ⎝3  0  −3⎠,

   pentru orice număr real a, deci

   B = ⎛1  0  −1⎞
       ⎜0  0   0⎟
       ⎝3  0  −3⎠ - 2p

3. 1. c) Determinați numărul natural n pentru care det(A(n)·A(−n)) > 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   A(n)·A(−n) = ⎛4 + 2n²  0  −2n²   ⎞
                ⎜0        4   0     ⎟
                ⎝6n²      0   4 − 6n²⎠

   ⇒ det(A(n)·A(−n)) = 64(1 − n²), unde n este număr natural - 3p 64(1 − n²) > 0 și, cum n este număr natural, obținem n = 0 - 2p

4. 2. a) Arătați că 2 ∗ 0 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2 ∗ 0 = ½(2 + 0 + |2 − 0|) = - 3p = ½(2 + 2) = 2 - 2p

5. 2. b) Demonstrați că, dacă a și b sunt numere reale astfel încât a ≤ b, atunci a ∗ b = b.

   −+din 5
   Arată baremul

   a ≤ b ⇒ |a − b| = b − a - 2p a ∗ b = ½(a + b + |a − b|) = ½(a + b + b − a) = ½·2b = b, pentru orice numere reale a și b astfel încât a ≤ b - 3p

6. 2. c) Determinați numerele reale x pentru care (2x) ∗ (x² + 1) ∗ (−2x) = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −3 sau x = 3

   x² + 1 ≥ 2x și x² + 1 ≥ −2x, pentru orice număr real x, deci ((2x) ∗ (x² + 1)) ∗ (−2x) = = (x² + 1) ∗ (−2x) = (−2x) ∗ (x² + 1) = x² + 1, pentru orice număr real x - 3p x² + 1 = 10, deci x = −3 sau x = 3 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x)=(√(x²+3)−x)/√(x²+3), x∈ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x)=1−2x/(2√(x²+3))= - 3p =1−x/√(x²+3)=(√(x²+3)−x)/√(x²+3), x∈ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y=0

   lim_{x→+∞} f(x)=lim_{x→+∞}(x−√(x²+3))=lim_{x→+∞}((x²−(x²+3))/(x+√(x²+3)))=lim_{x→+∞}(−3/(x+√(x²+3)))=0 - 3p Dreapta de ecuație y=0 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care ecuația f(x)=a are soluție.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a∈(−∞,0)

   f′(x)>0, pentru orice număr real x, deci f este strict crescătoare - 2p Cum lim_{x→−∞} f(x)=−∞, lim_{x→+∞} f(x)=0 și f este funcție continuă, ecuația f(x)=a are soluție ⇔ a∈(−∞,0) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² (x² + x + 3)f(x) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₀² (x² + x + 3)f(x) dx = ∫₀² (x² + x + 3) · x/(x² + x + 3) dx = ∫₀² x dx = [x²/2]₀² = - 3p = 4/2 = 2 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁² g(x) dx = ln(9/5), unde g : (0, +∞) → ℝ, g(x) = ((2x + 1)/x) · f(x).

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₁² g(x) dx = ∫₁² (2x + 1)/(x² + x + 3) dx = ∫₁² (x² + x + 3)′/(x² + x + 3) dx = - 3p = [ln(x² + x + 3)]₁² = ln 9 − ln 5 = ln(9/5) - 2p

6. 2. c) Se consideră numerele reale a și b, cu 0 ≤ a < b. Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫ₐᵇ…

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) 0 ≤ x/(x² + x + 3) ≤ 1/2, pentru orice x ∈ [0, +∞), deci 0 ≤ fⁿ(x) ≤ (1/2)ⁿ, pentru orice x ∈ [0, +∞) și orice număr natural nenul n - 2p 0 ≤ Iₙ = ∫ₐᵇ fⁿ(x) dx ≤ (1/2)ⁿ(b − a), pentru orice număr natural nenul n și, cum limₙ→₊∞ (1/2)ⁿ = 0, obținem că limₙ→₊∞ Iₙ = 0 - 3p