Matematică mate-info, sesiunea august 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 2i(3−i)−6i=2, unde i²=−1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 2i(3−i)−6i=6i−2i²−6i= - 3p =−2·(−1)=2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x² − mx, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care f(−1)…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   f(−1) = 1 + m, f(1) = 1 − m, unde m este număr real - 2p 1 + m = 1 − m, de unde obținem m = 0 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 27^(x−1) = 9^x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 3. 3^(3x−3) = 3^(2x), de unde obținem 3x−3 = 2x - 3p x = 3 - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2/15

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3·4=12 numere cu cifrele mai mici sau egale cu 3, deci sunt 12 cazuri favorabile, de unde obținem p=12/90=2/15 - 3p

5. 5. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(3,2) și B(1,−1). Determinați coordonatele punctului C pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: C(−1,−4)

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I, 5. B este mijlocul segmentului AC - 3p (x_C + 3)/2 = 1 și (y_C + 2)/2 = −1, de unde obținem x_C = −1 și y_C = −4 - 2p

6. 6. Se consideră expresia E(x) = sin 2x − 2tg x · sin(2x/3), unde x ∈ (0, π/2). Arătați că E(π/4) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin(π/2) = 1, tg(π/4) = 1, sin(π/6) = 1/2 - 3p E(π/4) = 1 − 2 · 1 · (1/2) = 1 − 1 = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(0) = ⎛0  1  1⎞
          ⎜1  0  1⎟
          ⎝1  1  0⎠
   ⇒ det(A(0)) = │0  1  1│
                 │1  0  1│
                 │1  1  0│ = - 2p

   = 0 + 1 + 1 − 0 − 0 − 0 = 2 - 3p

2. 1. b) Arătați că A(1) · A(x) − A(x − 1) = 2I₃, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛1  0  1⎞
          ⎜0  1  1⎟
          ⎝1  1  0⎠
   ⇒ A(1) · A(x) = ⎛x + 1  2 − x  1⎞
                   ⎜2 − x  x + 1  1⎟
                   ⎝1      1      2⎠,

   pentru orice număr real x - 3p

   A(x − 1) = ⎛x − 1  2 − x  1⎞
              ⎜2 − x  x − 1  1⎟
              ⎝1      1      0⎠
   ⇒ A(1) · A(x) − A(x − 1) = ⎛2  0  0⎞
                             ⎜0  2  0⎟
                             ⎝0  0  2⎠ = 2I₃,

   pentru orice număr real x - 2p

3. 1. c) Determinați numărul real x pentru care A(1) · A(1) · A(x) = 3A(1) + 2I₃.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   A(1) · A(1) · A(x) = A(1) · (A(1) · A(x)) = A(1) · (A(x − 1) + 2I₃) = A(x − 2) + 2I₃ + 2A(1), pentru orice număr real x - 3p A(x − 2) + 2I₃ + 2A(1) = 3A(1) + 2I₃ ⇒ A(x − 2) = A(1), de unde obținem x − 2 = 1, deci x = 3 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1∗3=3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 1∗3=1·3(1+3)/(1·3+1)= - 3p =3·4/4=3 - 2p

5. 2. b) Arătați că e=1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) x∗1=x·1·(x+1)/(x·1+1)=x(x+1)/(x+1)=x, pentru orice x∈M - 2p 1∗x=1·x·(1+x)/(1·x+1)=x(x+1)/(x+1)=x, pentru orice x∈M, deci e=1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

6. 2. c) Determinați perechile (m,n) de numere naturale nenule, cu m≤n, pentru care (1/m)∗(1/n)=(1/16)·(m∗n).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m,n)∈{(1,4),(2,2)}

   2. c) (1/m)∗(1/n)=(m+n)/(mn(mn+1)); (1/16)·(m∗n)=(1/16)·mn(m+n)/(mn+1), pentru orice numere naturale nenule m și n - 3p m²n²=16 și, cum m și n sunt numere naturale nenule, cu m≤n, obținem perechile (1,4) și (2,2) - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x)=(x−1)(4−x)/eˣ, x∈ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x)=((2x−3)eˣ−(x²−3x+1)eˣ)/(eˣ)²= - 3p =(−x²+5x−4)/eˣ=(x−1)(4−x)/eˣ, x∈ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că axa Ox este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. b) lim(x→+∞) f(x)=lim(x→+∞) (x²−3x+1)/eˣ=lim(x→+∞) (2x−3)/eˣ=lim(x→+∞) 2/eˣ=0 - 3p Dreapta de ecuație y=0, adică axa Ox, este asimptota orizontală spre +∞ la graficul lui f - 2p

3. 1. c) Demonstrați că ecuația f(x)=n are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c) f′(x)=0 ⇔ x=1 sau x=4; pentru orice x∈(−∞,1), f′(x)<0 ⇒ f este strict descrescătoare pe (−∞,1), pentru orice x∈(1,4), f′(x)>0 ⇒ f este strict crescătoare pe (1,4) și pentru orice x∈(4,+∞), f′(x)<0 ⇒ f este strict descrescătoare pe (4,+∞) - 3p Cum lim(x→−∞) f(x)=+∞, f(4)=5/e⁴<1 și funcția f este continuă, obținem că ecuația f(x)=n are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² f(x)/√(x² + 4) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀² f(x)/√(x² + 4) dx = ∫₀² x dx = [x²/2]₀² = - 3p = 4/2 − 0 = 2 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀^√5 f(x) dx = 19/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀^√5 f(x) dx = (1/2)∫₀^√5 (x² + 4)′√(x² + 4) dx = (1/3)[(x² + 4)√(x² + 4)]₀^√5 = - 3p = (1/3)(27 − 8) = 19/3 - 2p

6. 2. c) Pentru fiecare număr natural n, n ≥ 2, se consideră numărul Iₙ = ∫₁² xⁿ/f²(x) dx. Determinați numărul natural n, n ≥…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   Iₙ = ∫₁² xⁿ/[x²(x² + 4)] dx = ∫₁² xⁿ⁻²/(x² + 4) dx, pentru orice număr natural n, n ≥ 2 - 2p Iₙ₊₂ + 4Iₙ = ∫₁² [xⁿ⁻²(x² + 4)]/(x² + 4) dx = [xⁿ⁻¹/(n − 1)]₁² = (2ⁿ⁻¹ − 1)/(n − 1), deci (2ⁿ⁻¹ − 1)/(n − 1) = 3/(n − 1), de unde obținem 2ⁿ⁻¹ = 4, deci n = 3, care convine - 3p