Matematică mate-info, sesiunea iunie-iulie 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră numărul complex z = 3 + i. Arătați că z(z − 2i) = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   z(z − 2i) = (3 + i)(3 − i) = 3² − i² = - 3p = 9 + 1 = 10 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x + 1. Arătați că f(2x) − 2f(x) = −1, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(2x) = 10x + 1, pentru orice număr real x - 2p f(2x) − 2f(x) = 10x + 1 − 2(5x + 1) = 10x + 1 − 10x − 2 = −1, pentru orice număr real x - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ∛(x³ − 2x + 2) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3. x³ − 2x + 2 = x³, deci −2x + 2 = 0 - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Se consideră mulțimea A, a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/10

   Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 9 numere n pentru care n + 5 este multiplu de 10, deci sunt 9 cazuri favorabile, de unde obținem p = 9/90 = 1/10 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,0) și B(5,4). Determinați ecuația dreptei d care trece prin…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 4x

   5. m_AB = 4 și, cum d ∥ AB, obținem m_d = 4 - 3p Ecuația dreptei este y − 0 = 4(x − 0), adică y = 4x - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul isoscel ABC, dreptunghic în A, cu aria egală cu 4. Arătați că BC = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   AD = BC/2, unde AD este înălțime în triunghiul ABC - 3p 𝒜△ABC = (AD·BC)/2 = 4, de unde obținem BC = 4 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(0) = ⎛ 2   1   2 ⎞
          ⎜ 1  −1   0 ⎟
          ⎝ 0   1  −2 ⎠

   ⇒ det(A(0)) = | 2 1 2 | | 1 −1 0 | | 0 1 −2 | = - 2p = 4 + 2 + 0 − 0 − 0 + 2 = 8 - 3p

2. 1. b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care matricea A(a) este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: ℝ ∖ {−2, 4}

   det(A(a)) = | 2 1 2 | | 1 −1 a | | a a + 1 −2 | = −a² + 2a + 8, pentru orice număr real a - 2p det(A(a)) = 0 ⇔ a = −2 sau a = 4, deci matricea A(a) este inversabilă dacă și numai dacă a ∈ ℝ ∖ {−2, 4} - 3p

3. 1. c) Pentru a = −2, arătați că x₀z₀ + y₀ = −2, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) a sistemului de ecuații.

   −+din 5
   Arată baremul

   Pentru a = −2, soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma (2, −2 − 2α, α), cu α ∈ ℂ - 3p x₀z₀ + y₀ = 2α − 2 − 2α = −2, pentru orice soluție (x₀, y₀, z₀) a sistemului de ecuații - 2p

4. 2. a) Arătați că 2 ∘ 3 = 18.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 2 ∘ 3 = 2 · 3 + (2² − 2)(2³ − 2) = - 3p = 6 + 12 = 18 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) x ∘ 1 = x · 1 + (2ˣ − 2)(2¹ − 2) = x + 0 = x, pentru orice număr real x - 2p 1 ∘ x = 1 · x + (2¹ − 2)(2ˣ − 2) = x + 0 = x, pentru orice număr real x, deci e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

6. 2. c) Demonstrați că x ∘ (−x) ≤ 1, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) x ∘ (−x) = −x² + 1 − 2 · 2ˣ − 2 · 2⁻ˣ + 4 = - 2p = −x² + 1 − 2 · (2ˣ − 2 + 1/2ˣ) = 1 − x² − 2 · (√(2ˣ) − 1/√(2ˣ))² ≤ 1, pentru orice număr real x - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (x² + 2x − 15)/((x − 1)(x + 3)), x ∈ (1,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = 1 + 3(ln(x + 3) − ln(x − 1))′ = 1 + 3/(x + 3) − 3/(x − 1) = - 3p = (x² + 2x − 3 + 3x − 3 − 3x − 9)/((x + 3)(x − 1)) = (x² + 2x − 15)/((x + 3)(x − 1)), x ∈ (1,+∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = x

   1. b) lim(x→+∞) f(x)/x = lim(x→+∞) (1 + (3/x)ln((x + 3)/(x − 1))) = 1 - 2p lim(x→+∞) (f(x) − x) = lim(x→+∞) (3ln((x + 3)/(x − 1))) = 0, deci dreapta de ecuație y = x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

3. 1. c) Arătați că ln((x + 3)/(3(x − 1))) ≥ 1 − x/3, pentru orice x ∈ (1,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c) f′(x) = 0 ⇒ x = 3; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (1,3] ⇒ f este descrescătoare pe (1,3] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [3,+∞) ⇒ f este crescătoare pe [3,+∞), deci f(x) ≥ f(3), pentru orice x ∈ (1,+∞) - 3p f(3) = 3 + 3ln3, deci x + 3ln((x + 3)/(x − 1)) ≥ 3 + 3ln3, pentru orice x ∈ (1,+∞), de unde obținem ln((x + 3)/(3(x − 1))) ≥ 1 − x/3, pentru orice x ∈ (1,+∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³ f(x)eˣ dx = 18.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) ∫₀³ f(x)eˣ dx = ∫₀³ (x² + 2x) dx = [x³/3 + x²]₀³ = - 3p = 27/3 + 9 = 18 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ (f(x)/(x + 2)) dx = (e − 2)/e.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. b) ∫₀¹ (f(x)/(x + 2)) dx = ∫₀¹ x(−e⁻ˣ)′ dx = [x(−e⁻ˣ)]₀¹ − [e⁻ˣ]₀¹ = - 3p = −1/e − 1/e + 1 = (e − 2)/e - 2p

6. 2. c) Demonstrați că lim(x→0) ((1/x²) ∫₀ˣ f(t) dt) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. c) lim(x→0) ((1/x²) ∫₀ˣ f(t) dt) = lim(x→0) ((∫₀ˣ f(t) dt)′/(x²)′) = - 2p = lim(x→0) (f(x)/(2x)) = lim(x→0) (((x + 2)e⁻ˣ)/2) = 1 - 3p