Matematică mate-info, sesiunea august 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₁ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, cu a₂ = 14 și a₃ = 18.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 10

   1. a₂ = (a₁ + a₃)/2 ⇒ 14 = (a₁ + 18)/2 - 3p a₁ = 10 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = x + 2. Arătați că (f ∘ f)(5) = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. f(5) = 7 - 2p (f ∘ f)(5) = f(f(5)) = f(7) = 9 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ∛(x² + 2x + 1) = ∛(1 − x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −3 sau x = 0

   3. x² + 2x + 1 = 1 − x, de unde obținem x² + 3x = 0 - 3p x = −3 sau x = 0 - 2p

4. 4. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii A = {1, 2, 3,…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 16

   4. Cifra unităților se poate alege în 4 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma 4·4 = 16 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(2,1). Determinați coordonatele punctului B pentru care AB⃗ = 2OA⃗.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: B(6,3)

   5. OA⃗ = 2i⃗ + j⃗, AB⃗ = (x_B − 2)i⃗ + (y_B − 1)j⃗, unde B(x_B, y_B) - 3p (x_B − 2)i⃗ + (y_B − 1)j⃗ = 4i⃗ + 2j⃗, de unde obținem x_B = 6 și y_B = 3 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 12 și AB = BC/2. Arătați că aria triunghiului ABC este egală…

   −+din 5
   Arată baremul

   6. AB = 6, AC = 6√3 - 2p 𝒜_△ABC = (6 · 6√3)/2 = 18√3 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(B(1)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a)

   B(1) = ⎛2  0  0⎞
          ⎜0  1  1⎟
          ⎝0  1  1⎠

   ⇒ det(B(1)) = |2 0 0| |0 1 1| = |0 1 1| - 2p = 2 + 0 + 0 − 0 − 2 − 0 = 0 - 3p

2. 1. b) Arătați că B(x) · B(y) − B(x + y) = xyA, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. b) B(x) · B(y) − B(x + y) =

   ⎛2^(x+y)    0       0  ⎞   ⎛2^(x+y)  0    0  ⎞
   ⎜   0     1+xy     y+x ⎟ − ⎜   0     1   x+y ⎟ =
   ⎝   0      x+y    xy+1 ⎠   ⎝   0    x+y   1  ⎠

   - 3p

   = ⎛0   0   0⎞
     ⎜0  xy   0⎟ = xyA, pentru orice numere reale x și y
     ⎝0   0  xy⎠

   - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care B(x) · B(x + 1) − B(2x) · B(1) = xA.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 2

   1. c) B(x) · B(x + 1) = B(2x + 1) + (x² + x)A, B(2x) · B(1) = B(2x + 1) + 2xA, de unde obținem B(x) · B(x + 1) − B(2x) · B(1) = (x² − x)A, pentru orice număr real x - 3p (x² − x)A = xA, de unde obținem x = 0 sau x = 2 - 2p

4. 2. a) Arătați că f(1) = 4, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) f(1) = 1³ + a·1² + 1 + 2 − a = - 3p = 1 + a + 1 + 2 − a = 4, pentru orice număr real a - 2p

5. 2. b) Pentru a = 2, determinați rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x₁ = x₂ = −1 și x₃ = 0

   b) f = X³ + 2X² + X = X(X² + 2X + 1) - 2p Rădăcinile polinomului sunt x₁ = x₂ = −1 și x₃ = 0 - 3p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care (x₁ − x₁²)(x₂ − x₂²)(x₃ − x₃²) = 4, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   c) x₁x₂x₃ = −2 + a, (x₁ − x₁²)(x₂ − x₂²)(x₃ − x₃²) = x₁x₂x₃(1 − x₁)(1 − x₂)(1 − x₃) = (−2 + a)f(1) - 3p 4(−2 + a) = 4, de unde obținem a = 3 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2e^(2x)(x² + x − 2), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = (x² − 2)′e^(2x) + (x² − 2)(e^(2x))′ = - 2p = 2xe^(2x) + (x² − 2) · 2e^(2x) = 2e^(2x)(x² + x − 2), x ∈ ℝ - 3p

2. 1. b) Calculați lim_(x→+∞) f(x)/f′(x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   1. b) lim_(x→+∞) f(x)/f′(x) = lim_(x→+∞) (x² − 2)/(2(x² + x − 2)) = lim_(x→+∞) [x²(1 − 2/x²)]/[2x²(1 + 1/x − 2/x²)] = - 3p = lim_(x→+∞) (1 − 2/x²)/[2(1 + 1/x − 2/x²)] = 1/2 - 2p

3. 1. c) Determinați imaginea funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: [−e², +∞)

   1. c) f′(x) = 0 ⇔ x = −2 sau x = 1; pentru orice x ∈ (−∞, −2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, −2]; pentru orice x ∈ [−2, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−2, 1] și pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 3p Cum lim_(x→−∞) f(x) = 0, lim_(x→+∞) f(x) = +∞, f(1) = −e² și f este continuă, imaginea funcției f este [−e², +∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₋₁¹ (f(x) − 6x²) dx = 12/5.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₋₁¹ (f(x) − 6x²) dx = ∫₋₁¹ (x⁴ + 1) dx = [x⁵/5 + x]₋₁¹ = - 3p = 1/5 + 1 + 1/5 + 1 = 12/5 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁⁶ x³/(f(x) − 1) dx = (ln 6)/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₁⁶ x³/(f(x) − 1) dx = ∫₁⁶ x/(x² + 6) dx = (1/2)∫₁⁶ (x² + 6)′/(x² + 6) dx = [(1/2)ln(x² + 6)]₁⁶ = - 3p = (ln 42)/2 − (ln 7)/2 = (ln 6)/2 - 2p

6. 2. c) Arătați că lim_{x→0} ((1/x³)∫₀ˣ (f(2t) − f(t)) dt) = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) lim_{x→0} ((1/x³)∫₀ˣ (f(2t) − f(t)) dt) = lim_{x→0} ([∫₀ˣ (f(2t) − f(t)) dt]′/(x³)′) = lim_{x→0} ((f(2x) − f(x))/(3x²)) = - 3p = lim_{x→0} ((15x⁴ + 18x²)/(3x²)) = lim_{x→0} (5x² + 6) = 6 - 2p