Matematică mate-info, sesiunea specială 2024

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, în care a₁ = 2 și a₂ = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 22

   1. a₂ = (a₁ + a₃)/2 ⇒ 12 = (2 + a₃)/2 - 3p a₃ = 22 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x − 8. Determinați numărul real m pentru care f(1 + m) = 1 − m.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   2. f(1 + m) = m − 7, pentru orice număr real m - 2p m − 7 = 1 − m, de unde obținem m = 4 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg(x² − 3x + 5) = lg 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {0, 3}

   3. x² − 3x + 5 = 5, de unde obținem x² − 3x = 0 - 3p x = 0 sau x = 3, care convin - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul √(n + 1) să…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7/90

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 7 numere n pentru care numărul √(n + 1) este natural, deci sunt 7 cazuri favorabile, de unde obținem p = 7/90 - 3p

5. 5. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2), B(3, 0) și C(5, a), unde a este număr real. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   5. m_OA = 2 - 2p m_BC = a/2 și, cum m_OA = m_BC, obținem a = 4 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 9 și B = π/3. Arătați că AB = 3√3.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. tg B = AC/AB, deci √3 = 9/AB - 3p AB = 9/√3 = 3√3 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(2)) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   A(2) = ⎛ 1  2  2 ⎞
          ⎜ 0  0  1 ⎟
          ⎝ 2  1  1 ⎠

   ⇒ det(A(2)) =

   │ 1  2  2 │
   │ 0  0  1 │
   │ 2  1  1 │ = - 2p

   = 0 + 0 + 4 − 0 − 1 − 0 = 3 - 3p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care A(x)·A(1) = 2A(x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   b)

   A(1) = ⎛ 1  1  1 ⎞
          ⎜ 0  0  0 ⎟
          ⎝ 1  1  1 ⎠,
   A(x)·A(1) = ⎛ 1+x  1+x  1+x ⎞
               ⎜ x−1  x−1  x−1 ⎟
               ⎝ x+1  x+1  x+1 ⎠,

   pentru orice număr real x - 3p

   ⎛ 1+x  1+x  1+x ⎞   ⎛ 2   2x  2x   ⎞
   ⎜ x−1  x−1  x−1 ⎟ = ⎜ 0   0   2x−2 ⎟
   ⎝ x+1  x+1  x+1 ⎠   ⎝ 2x  2   2    ⎠,

   de unde obținem x = 1 - 2p

3. 1. c) Arătați că, dacă matricea A(x) este inversabilă, atunci și matricea A(−x) este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) det(A(x)) = (x−1)²(x+1) și det(A(x)) ≠ 0, deci x ∈ ℝ ∖ {−1, 1} - 3p Cum −x ∈ ℝ ∖ {−1, 1}, obținem det(A(−x)) ≠ 0, deci A(−x) este inversabilă - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ 1 = 7/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 ∘ 1 = 1 · 1 + (2 · 1 + 2 · 1 − 1)/4 = - 3p = 1 + 3/4 = 7/4 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 1/2 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) x ∘ (1/2) = x · (1/2) + (2x + 2 · (1/2) − 1)/4 = x/2 + x/2 = x, pentru orice număr real x - 2p (1/2) ∘ x = (1/2) · x + (2 · (1/2) + 2x − 1)/4 = x/2 + x/2 = x, pentru orice număr real x, deci e = 1/2 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

6. 2. c) Determinați numerele reale x pentru care (1/2 − x) ∘ (1/2 + x) ∘ (1/2 + x²) = 1/2 − x².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {−1, 0, 1}

   c) (1/2 − x) ∘ (1/2 + x) = 1/2 − x², (1/2 − x) ∘ (1/2 + x) ∘ (1/2 + x²) = 1/2 − x⁴, pentru orice număr real x - 2p 1/2 − x⁴ = 1/2 − x², de unde obținem x = −1 sau x = 0 sau x = 1 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 4x²(x−3)/(x−1)³, x ∈ (1, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = [12x²(x−1)² − 4x³·2(x−1)]/(x−1)⁴ = - 3p = (12x³ − 12x² − 8x³)/(x−1)³ = 4x²(x−3)/(x−1)³, x ∈ (1, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 4x + 8

   b) lim (x → +∞) f(x)/x = lim (x → +∞) 4x²/(x−1)² = 4 - 2p lim (x → +∞) (f(x)−4x) = lim (x → +∞) (8x²−4x)/(x−1)² = 8, deci dreapta de ecuație y = 4x+8 este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

3. 1. c) Arătați că ecuația f(x) = m are exact două soluții, pentru orice m ∈ (27, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x) = 0 ⇒ x = 3; f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (1, 3), deci f este strict descrescătoare pe (1, 3) și f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (3, +∞), deci f este strict crescătoare pe (3, +∞) - 2p lim (x → 1) f(x) = +∞, f(3) = 27, lim (x → +∞) f(x) = +∞ și f este continuă, deci ecuația f(x) = m are exact două soluții pentru orice m ∈ (27, +∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁³ (f(x) − x ln x) dx = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₁³ (f(x) − x ln x) dx = ∫₁³ (x + 1) dx = (x²/2 + x)|₁³ = - 3p = 15/2 − 3/2 = 6 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ (f(x) − x − 1) dx = (e² + 1)/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₁ᵉ (f(x) − x − 1) dx = ∫₁ᵉ (x²/2)′ ln x dx = ((x²/2) ln x)|₁ᵉ − (x²/4)|₁ᵉ = - 3p = e²/2 − e²/4 + 1/4 = (e² + 1)/4 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real nenul a pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 8

   c) g(x) = 1/(x + 1)², x ∈ [1,3], deci V = π∫₁³ g²(x) dx = π∫₁³ 1/(x + 1)⁴ dx = π(−1/(3(x + 1)³))|₁³ = 7π/192 - 3p 7π/192 = 7π/(24a), de unde obținem a = 8 - 2p