Matematică mate-info, sesiunea august 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 3(4−5i)+5i(3+2i)=2, unde i²=−1.

   −+din 5
   Arată baremul

   3(4−5i)+5i(3+2i)=12−15i+15i+10i²= - 3p =12−10=2 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f: ℝ → ℝ, f(x)=x+4 și g: ℝ → ℝ, g(x)=2x+a, unde a este număr real. Determinați numărul real a…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -9

   f(1)=5, (g∘f)(1)=g(5)=10+a, pentru orice număr real a - 3p 10+a=1, de unde obținem a=−9 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(6x−x²)=log₂(4+x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x=1 sau x=4

   6x−x²=4+x, de unde obținem x²−5x+4=0 - 2p x=1 sau x=4, care convin - 3p

4. 4. Se consideră mulțimea A={3,4,5,7,9}. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 16

   Cifra unităților se poate alege în 4 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma 4·4=16 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2) și B(6,4). Determinați coordonatele punctului C pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: C(3,4)

   OB⃗ = 6i⃗ + 4j⃗, AC⃗ = x_C i⃗ + (y_C − 2)j⃗ - 2p 2x_C i⃗ + 2(y_C − 2)j⃗ = 6i⃗ + 4j⃗, de unde obținem x_C = 3 și y_C = 4 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 4 și raza cercului circumscris egală cu 4. Arătați că aria…

   −+din 5
   Arată baremul

   BC = 8, de unde obținem AC = 4√3 - 3p 𝒜_△ABC = (4 · 4√3)/2 = 8√3 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(2)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(2) = ⎛ 2  1   4 ⎞
          ⎜ 2  1   0 ⎟
          ⎝ 1  1  −2 ⎠

   ⇒ det(A(2)) =

   │ 2  1   4 │
   │ 2  1   0 │
   │ 1  1  −2 │ = - 2p

   = −4 + 8 + 0 − 4 − 0 + 4 = 4 - 3p

2. 1. b) Pentru a = 1, arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.

   −+din 5
   Arată baremul

   a = 1 ⇒

   ⎧ x + y + 2z = 2
   ⎨ x + y = 0
   ⎩ x + y − z = −1

   și

   │ 1  1   2 │
   │ 1  1   0 │
   │ 1  1  −1 │ = 0 - 2p

   │ 1   0 │
   │ 1  −1 │ ≠ 0

   și

   │ 1   2   2 │
   │ 1   0   0 │
   │ 1  −1  −1 │ = 0,

   deci sistemul de ecuații are o infinitate de soluții - 3p

3. 1. c) Determinați numărul real a pentru care sistemul de ecuații are soluția unică (x₀,y₀,z₀) și x₀ = a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1/2

   det(A(a)) =

   │ a  1   2a │
   │ a  1    0 │
   │ 1  1   −a │ = 2a² − 2a,

   pentru orice număr real a și, cum sistemul de ecuații are soluție unică, obținem a ∈ ℝ ∖ {0,1} - 2p Obținem x₀ = −1/2, deci a = −1/2, care convine - 3p

4. 2. a) Pentru m = 3, arătați că f(1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   f = X⁴ − 3X³ + X² − 2X + 3 ⇒ f(1) = 1⁴ − 3 · 1³ + 1² − 2 · 1 + 3 = - 3p = 1 − 3 + 1 − 2 + 3 = 0 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale m pentru care (x₁x₂x₃x₄)² − x₁ − x₂ − x₃ − x₄ = 1, unde x₁, x₂, x₃ și x₄ sunt rădăcinile…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m = −2 sau m = 2

   x₁x₂x₃x₄ = m, x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 3 ⇒ (x₁x₂x₃x₄)² − x₁ − x₂ − x₃ − x₄ = m² − 3, pentru orice număr real m - 3p m² − 3 = 1, deci m² − 4 = 0, de unde obținem m = −2 sau m = 2 - 2p

6. 2. c) Pentru m = 0, determinați numerele reale a pentru care restul împărțirii polinomului f la polinomul X − a este egal…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 0 sau a = 3

   f = X⁴ − 3X³ + X² − 2X și f(a) = a, de unde obținem a⁴ − 3a³ + a² − 3a = 0 - 3p a(a − 3)(a² + 1) = 0 și, cum a este număr real, obținem a = 0 sau a = 3 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x)=x(x²−4)/((x²+1)√(x²+1)), x∈ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x)=[2x√(x²+1)−(x²+6)·(2x/(2√(x²+1)))]/(x²+1)= - 3p =(2x³+2x−x³−6x)/((x²+1)√(x²+1))=x(x²−4)/((x²+1)√(x²+1)), x∈ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x=0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y=6

   f(0)=6, f′(0)=0 - 2p Ecuația tangentei este y−f(0)=f′(0)(x−0), adică y=6 - 3p

3. 1. c) Arătați că f(7x)−f(x)≤2√2, pentru orice x∈[0,1].

   −+din 5
   Arată baremul

   Pentru orice x∈[0,2], f′(x)≤0, deci f este descrescătoare pe [0,2] și, pentru orice x∈[2,+∞), f′(x)≥0, deci f este crescătoare pe [2,+∞) - 2p x∈[0,1] ⇒ 7x∈[0,7], f(0)=6, f(1)=7/√2, f(7)=11/√2, de unde obținem 7/√2≤f(x) și f(7x)≤11/√2, deci f(7x)−f(x)≤2√2, pentru orice x∈[0,1] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³ (f(x) − e²ˣ) dx = 24.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₀³ (f(x) − e²ˣ) dx = ∫₀³ (3x² − 1) dx = [x³ − x]₀³ = - 3p = 24 − 0 = 24 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ 4x(f(x) − 3x² + 1) dx = e² + 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₀¹ 4x(f(x) − 3x² + 1) dx = ∫₀¹ 2x(e²ˣ)′ dx = [2xe²ˣ]₀¹ − [e²ˣ]₀¹ = - 3p = 2e² − e² + 1 = e² + 1 - 2p

6. 2. c) Demonstrați că lim(x → 0) (1/x²) ∫₀ˣ f(t)/(t + 1) dt = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) lim(x → 0) (1/x²) ∫₀ˣ f(t)/(t + 1) dt = lim(x → 0) [(∫₀ˣ f(t)/(t + 1) dt)′/(x²)′] = lim(x → 0) f(x)/(2x(x + 1)) = - 3p = lim(x → 0) f′(x)/(4x + 2) = lim(x → 0) (6x + 2e²ˣ)/(4x + 2) = 1 - 2p