Matematică mate-info, sesiunea iunie-iulie 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră numerele complexe z₁ = 1 − i și z₂ = 2 + i. Arătați că 2z₁ + iz₂ = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 2z₁ + iz₂ = 2(1 − i) + i(2 + i) = 2 − 2i + 2i + i² = - 2p = 2 − 1 = 1 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x)=x+3. Determinați numărul real a pentru care (f∘f)(a)=9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   f(a)=a+3, (f∘f)(a)=a+6, pentru orice număr real a - 3p a+6=9, de unde obținem a=3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(2x²−3x+2)=x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x=1 sau x=2

   2x²−3x+2=x², de unde obținem x²−3x+2=0 - 2p x=1 sau x=2, care convin - 3p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizor…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/30

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3 divizori ai numărului 2⁶, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem p = 3/90 = 1/30 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,1), B(5,0), C(6,3) și D(a,b), unde a și b sunt numere reale.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 1 și b = 4

   Mijlocul segmentului AC are coordonatele (3,2) și mijlocul segmentului BD are coordonatele ((5+a)/2,b/2) - 3p a = 1 și b = 4 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 2 și tg B = 3. Arătați că BC = 2√10.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. tg B = AC/AB, de unde obținem AC = 6 - 3p BC² = 2² + 6², de unde obținem BC = 2√10 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1))=8.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛ −1   0   1 ⎞
          ⎜  0   2   0 ⎟
          ⎝ −9   0   5 ⎠
   ⇒ det(A(1)) = │ −1   0   1 │
                 │  0   2   0 │
                 │ −9   0   5 │ = - 2p

   =−10+0+0+18−0−0=8 - 3p

2. 1. b) Arătați că A(x)·A(y)=2A(x+y), pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(x)·A(y) = ⎛ 4−6x−6y   0    2x+2y   ⎞
               ⎜     0      4      0     ⎟
               ⎝ −18x−18y   0   4+6x+6y  ⎠ = - 3p
   = 2 ⎛ 2−3(x+y)   0      x+y     ⎞
       ⎜     0      2       0      ⎟
       ⎝  −9(x+y)   0   2+3(x+y)   ⎠ = 2A(x+y), pentru orice numere reale x și y - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care (A(x)+A(3x))·A(2x)=4A(x²).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x=0 sau x=4

   A(x)+A(3x)=2A(2x), (A(x)+A(3x))·A(2x)=4A(4x), pentru orice număr real x - 3p 4A(4x)=4A(x²), de unde obținem 4x=x², deci x=0 sau x=4 - 2p

4. 2. a) Arătați că f(1)=−3, pentru orice număr real nenul a.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(1)=a·1³+3·1²−a·1−6= - 3p =a+3−a−6=−3, pentru orice număr real nenul a - 2p

5. 2. b) Pentru a=1, determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul g=X²+3X−1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: Câtul este X, iar restul este −6.

   f=X(X²+3X−1)−6 și câtul împărțirii este X - 3p Restul este −6 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real nenul a pentru care (1+x₁)(1+x₂)(1+x₃)=1, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   (1+x₁)(1+x₂)(1+x₃)=−f(−1)/a, pentru orice număr real nenul a - 3p −f(−1)/a=1, de unde obținem a=3 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2(x+1)²/(x(x+2)), x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 2+((x+2)/x)·((x+2−x)/(x+2)²) = 2+2/(x(x+2)) = - 3p = (2x²+4x+2)/(x(x+2)) = 2(x+1)²/(x(x+2)), x ∈ (0,+∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 2x

   lim_{x→+∞} f(x)/x = lim_{x→+∞} (2+(1/x)ln(x/(x+2))) = 2 - 2p lim_{x→+∞} (f(x)−2x) = lim_{x→+∞} ln(x/(x+2)) = 0, deci dreapta de ecuație y = 2x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

3. 1. c) Demonstrați că funcția f este bijectivă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Pentru orice x ∈ (0,+∞), f′(x) > 0 ⇒ f este strict crescătoare, deci f este injectivă - 2p lim_{x→0} f(x) = −∞, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și f este continuă, deci f este surjectivă, de unde obținem că f este bijectivă - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀³ f(x)(x+1)³ dx = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀³ f(x)(x+1)³ dx = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = - 3p = 9−0 = 9 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ √(f(x)(x+1)) dx = 1−ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹ √(f(x)(x+1)) dx = ∫₀¹ x/(x+1) dx = ∫₀¹ (1−1/(x+1)) dx = [x]₀¹−[ln(x+1)]₀¹ = - 3p = 1−0−ln 2+ln 1 = 1−ln 2 - 2p

6. 2. c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g : ℝ → ℝ, g(x) = f(eˣ)/eˣ, axa Ox și dreptele de…

   −+din 5
   Arată baremul

   g(x) = eˣ/(eˣ+1)³, x ∈ ℝ ⇒ A = ∫₋₁¹ |g(x)| dx = ∫₋₁¹ eˣ/(eˣ+1)³ dx = ∫₋₁¹ (eˣ+1)′/(eˣ+1)³ dx = [−1/(2(eˣ+1)²)]₋₁¹ = - 3p = (e²−1)/(2(e+1)²) = (e−1)/(2(e+1)) - 2p