Matematică mate-info, sesiunea specială 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul b₁ al progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥₁, în care b₂ = 20 și b₃ = 100.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   q = b₃/b₂ = 5, unde q este rația progresiei geometrice - 3p b₁ = b₂/q = 4 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 4x+3 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x−3. Determinați numărul real a pentru care f(a) =…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   I.2. f(a) = 4a+3, g(a) = a−3, pentru orice număr real a - 3p 4a+3 = a−3, de unde obținem a = −2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9ˣ·3³ = 3ˣ⁺².

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   3. 3²ˣ⁺³ = 3ˣ⁺², de unde obținem 2x + 3 = x + 2 - 3p x = −1 - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, √n să fie număr…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/30

   I.4. În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3 numere n pentru care √n este număr natural par, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem p = 3/90 = 1/30 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,3), B(6,2) și C(4,a), unde a este număr real. Determinați numărul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   m_OB = 1/3 - 2p m_AC = (a − 3)/3 și, cum m_OB = m_AC, obținem a = 4 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu aria egală cu 32 și BC = AB√2. Arătați că AC = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. AB/BC = 1/√2, de unde obținem B = π/4, deci AB = AC - 3p (AB·AC)/2 = 32, de unde obținem AC = 8 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(M(0)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   II.1.a)

   M(0) = ⎛0  0  −3⎞
          ⎜0  0   1⎟
          ⎝0  0   1⎠

   ⇒ det(M(0)) =

   │0  0  −3│
   │0  0   1│ =
   │0  0   1│ - 2p

   = 0+0+0−0−0−0 = 0 - 3p

2. 1. b) Arătați că M(x)·M(y) − xyI₃ = (x+y+1)M(0), pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   II.1.b) M(x)·M(y) − xyI₃ =

   ⎛xy   0    −3x−3y−3 ⎞   ⎛xy   0   0⎞
   ⎜ 0  xy      x+y+1  ⎟ − ⎜ 0  xy   0⎟ =
   ⎝ 0   0   xy+x+y+1  ⎠   ⎝ 0   0  xy⎠ - 3p
   = ⎛0  0  −3(x+y+1)⎞
     ⎜0  0     x+y+1 ⎟
     ⎝0  0     x+y+1 ⎠

   = (x+y+1)M(0), pentru orice numere reale x și y - 2p

3. 1. c) Determinați numărul real x pentru care M(1)·M(x) − M(2)·M(x/2) = 2M(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   II.1.c) M(1)·M(x) − M(2)·M(x/2) = xI₃ + (x+2)M(0) − xI₃ − (x/2+3)M(0) = (x/2−1)M(0), pentru orice număr real x - 3p (x/2−1)M(0) = 2M(0), de unde obținem x = 6 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1∗3 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 1∗3 = 5(1−1)(3−1)+1 = - 3p = 0+1 = 1 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 6/5 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) x∗(6/5) = 5(x−1)(6/5−1)+1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x - 2p (6/5)∗x = 5(6/5−1)(x−1)+1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x, deci e = 6/5 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

6. 2. c) Determinați perechile (m,n) de numere naturale pentru care m/25 este simetricul elementului n în raport cu legea de…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (24,0) și (26,2)

   2. c) (m/25)∗n = n∗(m/25) = 6/5, de unde obținem 5(m/25−1)(n−1)+1 = 5(n−1)(m/25−1)+1 = 6/5 - 3p (m−25)(n−1) = 1 și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (24,0) și (26,2) - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (3−ln x)/x², x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   III.1.a) f′(x) = ((2+1/x)·x−(2x−2+ln x))/x² = - 3p = (2x+1−2x+2−ln x)/x² = (3−ln x)/x², x ∈ (0,+∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că lim[x→1] f(x)/ln x = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   III.1.b) lim[x→1] f(x)/ln x = lim[x→1] (2x−2+ln x)/(x ln x) = lim[x→1] (2x−2+ln x)′/(x ln x)′ = - 3p = lim[x→1] (2+1/x)/(ln x+1) = 3 - 2p

3. 1. c) Determinați cel mai mare număr întreg m pentru care ecuația f(x) = m are cel puțin o soluție.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   III.1.c) f′(x) = 0 ⇔ x = e³; pentru orice x ∈ (0,e³], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (0,e³] și, pentru orice x ∈ [e³,+∞), f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [e³,+∞) - 2p lim[x→0] f(x) = −∞, f(e³) = 2+1/e³ ∈ (2,3) și f este continuă, deci cel mai mare număr întreg m pentru care ecuația f(x) = m are cel puțin o soluție este 2 - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² f(x)eˣ dx = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₀² f(x)eˣ dx = ∫₀² (x+4) dx = [x²/2+4x]₀² = - 3p = 2+8 = 10 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀¹ f(x) dx = 5−6/e.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₀¹ f(x) dx = ∫₀¹ (x+4)(−e⁻ˣ)′ dx = [(x+4)(−e⁻ˣ)]₀¹ − [e⁻ˣ]₀¹ = - 3p = −5/e+4−1/e+1 = 5−6/e - 2p

6. 2. c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul Iₙ = ∫₀¹ (xⁿ/f(x)) dx. Arătați că Iₙ₊₁ + 4Iₙ ≤ e/(n+1),…

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) Iₙ = ∫₀¹ (xⁿeˣ/(x+4)) dx, de unde obținem Iₙ₊₁ + 4Iₙ = ∫₀¹ ((xⁿ⁺¹+4xⁿ)eˣ/(x+4)) dx = ∫₀¹ xⁿeˣ dx, pentru orice număr natural nenul n - 2p Cum eˣ ≤ e, pentru orice x ∈ [0,1], obținem Iₙ₊₁ + 4Iₙ ≤ e∫₀¹ xⁿ dx = e·[xⁿ⁺¹/(n+1)]₀¹ = e/(n+1), pentru orice număr natural nenul n - 3p