Matematică mate-info, sesiunea iunie-iulie 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră numărul complex z = 3 − i. Arătați că z(z + 2i) = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   z(z + 2i) = (3 − i)(3 + i) = 9 − i² = - 2p = 9 − (−1) = 10 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 4. Determinați numărul real a pentru care f(a) + f(−2a) = a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   f(a) = 3a − 4, f(−2a) = −6a − 4, pentru orice număr real a - 3p 3a − 4 − 6a − 4 = a, de unde obținem a = −2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(x² + 7) = 2√(x + 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {1, 3}

   x² + 7 = 4(x + 1), de unde obținem x² − 4x + 3 = 0 - 2p x = 1 sau x = 3, care convin - 3p

4. 4. Se consideră mulțimea A = {1, 2, 3, 5, 7}. Determinați câte dintre submulțimile mulțimii A au exact trei elemente și…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   Numărul submulțimilor cu exact trei elemente ale mulțimii A, care conțin elementul 5, este egal cu numărul submulțimilor cu exact două elemente ale mulțimii A ∖ {5} - 3p Mulțimea A ∖ {5} are 6 submulțimi cu exact două elemente - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 6), B(4, 1) și C(5, a), unde a este număr real. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   m_OA = 2 - 2p m_BC = a − 1 și, cum m_OA = m_BC, obținem a = 3 - 3p

6. 6. Se consideră expresia E(x) = (1 + tg²x)sin(x/2) + cos 3x, unde x ∈ (0, π/2). Arătați că E(π/3) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   tg(π/3) = √3, sin(π/6) = 1/2, cos π = −1 - 3p E(π/3) = (1 + (√3)²) · 1/2 + (−1) = 4 · 1/2 − 1 = 1 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛1  1  1⎞
          ⎜1  3  1⎟
          ⎝0  2  1⎠
   ⇒ det(A(1)) = det⎛1  1  1⎞
                     ⎜1  3  1⎟
                     ⎝0  2  1⎠ = - 2p

   = 3 + 2 + 0 − 0 − 2 − 1 = 2 - 3p

2. 1. b) Arătați că, pentru orice număr real a, sistemul de ecuații are soluție unică.

   −+din 5
   Arată baremul

   det(A(a)) = det⎛1  a  a⎞
                  ⎜a  3  a⎟
                  ⎝0  2  1⎠

   = a² − 2a + 3, pentru orice număr real a - 3p det(A(a)) = (a − 1)² + 2 ≠ 0, pentru orice număr real a, deci pentru orice număr real a sistemul de ecuații are soluție unică - 2p

3. 1. c) Determinați numărul natural nenul a pentru care sistemul de ecuații are soluția (x₀, y₀, z₀), cu z₀ = nx₀, unde n…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   2a = n(3 − 2a), unde a și n sunt numere naturale, a nenul - 3p 3 − 2a > 0 și, cum a este număr natural nenul, obținem a = 1, care convine - 2p

4. 2. a) Arătați că 0 ∗ 2 = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   0 ∗ 2 = (2/3)(0 − 3)(2 − 3) + 3 = - 3p = 2 + 3 = 5 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ (3x/2) = 5x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {1, 9}

   x ∗ (3x/2) = x² − 5x + 9, pentru orice număr real x - 2p x² − 5x + 9 = 5x, de unde obținem x = 1 sau x = 9 - 3p

6. 2. c) Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care m ∗ m ∗ n = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(0, 2), (6, 2)}

   m ∗ m = (2/3)(m − 3)² + 3, m ∗ m ∗ n = (4/9)(m − 3)²(n − 3) + 3, pentru orice numere naturale m și n - 2p (4/9)(m − 3)²(n − 3) + 3 = −1 ⇔ (m − 3)²(n − 3) = −9 și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (0, 2) și (6, 2) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = ((x² − 1)(x² + 20))/(x² + 5)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = ((3x² − 4)(x² + 5) − (x³ − 4x)·2x)/(x² + 5)² = - 3p = (x⁴ + 19x² − 20)/(x² + 5)² = ((x² − 1)(x² + 20))/(x² + 5)², x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că dreapta de ecuație y = x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_{x→+∞}(f(x) − x) = - 2p = lim_{x→+∞}(−9x)/(x² + 5) = 0, deci dreapta de ecuație y = x este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f - 3p

3. 1. c) Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x) = m are exact trei soluții.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (−1/2, 1/2)

   f′(x) = 0 ⇒ x = −1 sau x = 1; pentru orice x ∈ (−∞, −1), f′(x) > 0, deci f este strict crescătoare pe (−∞, −1), pentru orice x ∈ (−1, 1), f′(x) < 0, deci f este strict descrescătoare pe (−1, 1) și, pentru orice x ∈ (1, +∞), f′(x) > 0, deci f este strict crescătoare pe (1, +∞) - 2p lim_{x→−∞} f(x) = −∞, f(−1) = 1/2, f(1) = −1/2, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și f este continuă, de unde obținem că ecuația f(x) = m are exact trei soluții dacă și numai dacă m ∈ (−1/2, 1/2) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₂³ f(x)x ln x dx = 7/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₂³ f(x)x ln x dx = ∫₂³ (x² − 4) dx = [x³/3 − 4x]₂³ = - 3p = −3 + 16/3 = 7/3 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫ₑᵉ² [f(x)/(x² − 4)] dx = ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫ₑᵉ² [f(x)/(x² − 4)] dx = ∫ₑᵉ² [1/(x ln x)] dx = ∫ₑᵉ² [1/ln x] · (ln x)′ dx = [ln(ln x)]ₑᵉ² = - 3p = ln 2 − ln 1 = ln 2 - 2p

6. 2. c) Arătați că lim_{x→2} [1/F²(x)] ∫₂ˣ (t − 2)F(t) dt = (ln 2)/4, unde F : (1, +∞) → ℝ este primitiva funcției f pentru…

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_{x→2} [1/F²(x)] ∫₂ˣ (t − 2)F(t) dt = lim_{x→2} (∫₂ˣ (t − 2)F(t) dt)′/(F²(x))′ = lim_{x→2} [(x − 2)F(x)]/[2F(x)f(x)] = - 3p = lim_{x→2} (x − 2)/(2f(x)) = lim_{x→2} (x ln x)/(2(x + 2)) = (ln 2)/4 - 2p