Matematică mate-info, subiect de rezervă 2026, sesiunea iunie-iulie

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 3i(2 + i) + 2(2 − 3i) = 1, unde i² = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   3i(2 + i) + 2(2 − 3i) = 6i + 3i² + 4 − 6i = - 3p = −3 + 4 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 5. Determinați numărul real a pentru care a + f(a − 1) + f(a + 1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 2

   f(a − 1) = 2a − 7, f(2a + 1) = 2a − 3, pentru orice număr real a - 2p a + 2a − 7 + 2a − 3 = 0, de unde obținem a = 2 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (1/2)log₂(6x − 8) = log₂ x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {2,4}

   log₂(6x − 8) = log₂ x², de unde obținem x² − 6x + 8 = 0 - 2p x = 2 sau x = 4, care convin - 3p

4. 4. Se consideră mulțimea A = {3,6,9,…,60}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să fie…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/5

   Mulțimea A are 20 de elemente, deci sunt 20 de cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 4 numere divizibile cu 5, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p = 4/20 = 1/5 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,2), B(a,0) și C(1,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 3 și b = 4

   OA⃗ = (1/2)(OB⃗ + OC⃗), deci punctul A este mijlocul segmentului BC - 2p (a + 1)/2 = 2, (0 + b)/2 = 2, de unde obținem a = 3 și b = 4 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și B = π/3. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 6√3.

   −+din 5
   Arată baremul

   tg B = AC/AB, deci √3 = 6/AB, de unde obținem AB = 2√3 - 3p 𝒜_△ABC = (AB·AC)/2 = (2√3·6)/2 = 6√3 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(3)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(3) = ⎛5   2   1⎞
          ⎜0  −1  −3⎟
          ⎝0   2   6⎠

   ⇒ det(A(3)) =

   │5   2   1│
   │0  −1  −3│
   │0   2   6│ = - 2p

   = −30+0+0−0+30−0 = 0 - 3p

2. 1. b) Arătați că A(a)·A(a) = (2a−1)A(a), pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(a)·A(a) =

   ⎛(2a−1)²   4a−2      2a−1   ⎞
   ⎜   0      1−2a      a−2a²  ⎟
   ⎝   0     −2+4a    −2a+4a²  ⎠ = - 3p

   = ⎛(2a−1)²   2(2a−1)      2a−1    ⎞
     ⎜   0      −(2a−1)    −a(2a−1)  ⎟
     ⎝   0      2(2a−1)    2a(2a−1)  ⎠

   = (2a−1)A(a), pentru orice număr real a - 2p

3. 1. c) Se consideră matricea B(n) = A(n)+nI₃, unde n este număr natural. Determinați numărul natural n pentru care A(n)·B(n)…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   A(n)·B(n) = (3n−1)A(n), pentru orice număr natural n - 3p (3n−1)A(n) = 2n²A(n) și, cum n este număr natural, obținem n = 1 - 2p

4. 2. a) Pentru a = 4 și b = 0, arătați că f(−1) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   f = X⁴ − X³ + 4X² − 6 ⇒ f(−1) = (−1)⁴ − (−1)³ + 4(−1)² − 6 = - 3p = 1 + 1 + 4 − 6 = 0 - 2p

5. 2. b) Pentru a = b = 1, determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul g = X² − X + 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: Câtul este X², iar restul este X − 6.

   f = X⁴ − X³ + X² + X − 6 = (X² − X + 1)X² + X − 6, deci câtul împărțirii este X² - 3p Restul este X − 6 - 2p

6. 2. c) Determinați perechile (a,b) de numere naturale pentru care două dintre rădăcinile polinomului f sunt numere opuse.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (a,b) ∈ {(1,2), (5,1)}

   x₂ = −x₁, deci f(x₁) = f(−x₁) = 0, de unde rezultă f(x₁) + f(−x₁) = 0 și f(x₁) − f(−x₁) = 0, de unde obținem x₁⁴ + ax₁² − 6 = 0 și x₁³ − bx₁ = 0 - 2p Cum x₁ ≠ 0, obținem b = x₁², deci b(a + b) = 6 și, cum a și b sunt numere naturale, rezultă că perechile sunt (1,2) și (5,1), care convin - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 4x(√(2x²+1)−3)/(2x²+1), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 4x/√(2x²+1)−3·4x/(2x²+1) = - 3p = (4x√(2x²+1)−12x)/(2x²+1) = 4x(√(2x²+1)−3)/(2x²+1), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 2

   f(0) = 2, f′(0) = 0 - 2p Ecuația tangentei este y−f(0) = f′(0)(x−0), adică y = 2 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că ecuația f(x) = m are exact două soluții, pentru orice m ∈ (2,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇔ x = −2 sau x = 0 sau x = 2; pentru orice x ∈ (−∞,−2), f′(x) < 0, deci f este strict descrescătoare pe (−∞,−2); pentru orice x ∈ [−2,0], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [−2,0]; pentru orice x ∈ [0,2], f′(x) ≤ 0, deci f descrescătoare pe [0,2]; pentru orice x ∈ (2,+∞), f′(x) > 0, deci f este strict crescătoare pe (2,+∞) - 2p Cum lim_{x→−∞} f(x) = lim_{x→+∞} f(x) = +∞, f(0) = 2 și f este continuă, obținem că ecuația f(x) = m are exact două soluții pentru orice m ∈ (2,+∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x) − 1/(x + 2)) dx = 15.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) ∫₁² (f(x) − 1/(x + 2)) dx = ∫₁² 4x³ dx = [x⁴]₁² = - 3p = 16 − 1 = 15 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ (4 ln x)/(f(x) − 4x³) dx = e² + 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. b) ∫₁ᵉ (4 ln x)/(f(x) − 4x³) dx = ∫₁ᵉ (4x + 8) ln x dx = ∫₁ᵉ (2x² + 8x)′ ln x dx = [(2x² + 8x) ln x]₁ᵉ − [x² + 8x]₁ᵉ = - 3p = 2e² + 8e − e² − 8e + 9 = e² + 9 - 2p

6. 2. c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g : (−2, +∞) → ℝ, g(x) = f(eˣ) − 4e³ˣ, axa Ox și…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. c) g(x) = 1/(eˣ + 2), x ∈ (−2, +∞) ⇒ 𝒜 = ∫₀¹ |g(x)| dx = (1/2) ∫₀¹ (1 − eˣ/(eˣ + 2)) dx = (1/2)[x − ln(eˣ + 2)]₀¹ = - 3p = (1/2)(1 − ln((e + 2)/3)) = (1/2) ln(3e/(e + 2)) - 2p