Matematică pedagogic, sesiunea specială 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (√3 + 1)² − (√3 − 1)² = √48.

   −+din 5
   Arată baremul

   (√3 + 1)² = 4 + 2√3, (√3 − 1)² = 4 − 2√3 - 3p (4 + 2√3) − (4 − 2√3) = 4√3 = √48 - 2p

2. 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1 și g : ℝ → ℝ, g(x)…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (1, 3)

   2x + 1 = −2x + 5, deci x = 1 - 2p f(1) = 3, deci coordonatele punctului de intersecție sunt (1, 3) - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3^(x−2) = (1/3)^(−2x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   Reguli generale:

   SUBIECTUL I / 3. 3^(x−2) = 3^(2x), de unde obținem x−2 = 2x - 3p x = −2 - 2p

4. 4. Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 și 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 32

   4. Cifra unităților poate fi aleasă în 4 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 8 moduri, deci se pot forma 4·8 = 32 de numere naturale impare de două cifre - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2), B(5,2) și C(6,6). Determinați distanța de la punctul B la…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2√2

   5. x_M = 3 și y_M = 4, unde M este mijlocul segmentului AC - 3p BM = √((3−5)²+(4−2)²) = 2√2 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 9, AC = 12 și BC = 15. Arătați că sin B + sin C = 7/5.

   −+din 5
   Arată baremul

   AB² + AC² = BC², deci triunghiul ABC este dreptunghic în A - 3p sin B + sin C = 4/5 + 3/5 = 7/5 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 4 ∗ 2 = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 4 ∗ 2 = −(1/3)·4·2 + (1/3)(4+2) + 2/3 = - 3p = −8/3 + 6/3 + 2/3 = 0 - 2p

2. 2. Demonstrați că x ∗ y = −(1/3)(x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ y = −(1/3)xy + (1/3)x + (1/3)y + 2/3 = −(1/3)x(y − 1) + (1/3)(y − 1) + 1/3 + 2/3 = - 3p = −(1/3)x(y − 1) + (1/3)(y − 1) + 1 = −(1/3)(x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice numere reale x și y - 2p

3. 3. Determinați numărul real x pentru care 4 ∗ x = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   4 ∗ x = −(1/3)(4 − 1)(x − 1) + 1 = −x + 2, pentru orice număr real x - 2p −x + 2 = x, deci x = 1 - 3p

4. 4. Arătați că e = −2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   4. (−2) ∗ x = −(1/3)(−2−1)(x−1) + 1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x - 2p x ∗ (−2) = −(1/3)(x−1)(−2−1) + 1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x, deci e = −2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

5. 5. Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x = −2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −2 sau x = 4

   5. x ∗ x = −(1/3)(x−1)² + 1, pentru orice număr real x - 2p −(1/3)(x−1)² + 1 = −2 ⇔ (x−1)² = 9, de unde obținem x = −2 sau x = 4 - 3p

6. 6. Arătați că (1/x) ∗ (1/x) ≤ 1, pentru orice număr real nenul x.

   −+din 5
   Arată baremul

   −(1/3)(1/x − 1)² + 1 ≤ 1 ⇔ −(1/3)(1/x − 1)² ≤ 0 - 3p (1/x − 1)² ≥ 0, deci (1/x) ∗ (1/x) ≤ 1, pentru orice număr real nenul x - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det B = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. det B = |1 2; −1 0| = 1·0 − 2·(−1) = - 3p = 0+2 = 2 - 2p

2. 2. Arătați că det(A(2n,2n+1)) este număr natural impar, pentru orice număr natural nenul n.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. A(2n,2n+1) = [[2n, 2n+1], [1, 2]], de unde obținem det(A(2n,2n+1)) = 2n−1, pentru orice număr natural nenul n - 3p 2n−1 este număr natural impar, pentru orice număr natural nenul n - 2p

3. 3. Arătați că A(2x, 0) + A(0, 2x) = 2A(x, x), pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(2x, 0) + A(0, 2x) =

   ⎛ 2x  0 ⎞   ⎛ 0  2x ⎞   ⎛ 2x  2x ⎞
   ⎝  1  2 ⎠ + ⎝ 1   2 ⎠ = ⎝  2   4 ⎠ = - 3p
   = 2 · ⎛ x  x ⎞ = 2A(x, x), pentru orice număr real x - 2p
         ⎝ 1  2 ⎠

4. 4. Determinați numerele reale x și y, astfel încât A(x,y)·B = B·A(x,y).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 și y = −2

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea / 4.

   ⎛ x  y ⎞ ⎛  1  2 ⎞   ⎛  1  2 ⎞ ⎛ x  y ⎞
   ⎝ 1  2 ⎠ ⎝ −1  0 ⎠ = ⎝ −1  0 ⎠ ⎝ 1  2 ⎠

   ⇔

   ⎛ x−y  2x ⎞   ⎛ x+2  y+4 ⎞
   ⎝  −1   2 ⎠ = ⎝  −x   −y ⎠ - 3p

   x = 1 și y = −2 - 2p

5. 5. Determinați numărul real strict pozitiv x, știind că suma elementelor matricei A(log₃ x, 1) este egală cu 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   5. A(log₃ x, 1) = [[log₃ x, 1], [1, 2]], deci suma elementelor matricei este 4 + log₃ x - 3p 4 + log₃ x = 5 ⇔ log₃ x = 1, de unde obținem x = 3, care convine - 2p

6. 6. Determinați numerele reale x și y, știind că A(x, y) · A(x, y) = 2I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −2 și y = −2

   A(x, y) · A(x, y) = ⎛ x² + y  xy + 2y ⎞,
                       ⎝  x + 2    y + 4 ⎠
   2I₂ = ⎛ 2  0 ⎞ - 2p
         ⎝ 0  2 ⎠
   ⎛ x² + y  xy + 2y ⎞   ⎛ 2  0 ⎞
   ⎝  x + 2    y + 4 ⎠ = ⎝ 0  2 ⎠,

   de unde obținem x = −2 și y = −2 - 3p