Matematică pedagogic, simulare 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₁ = 3 și r = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 15

   a₃ = a₁ + 2r - 2p a₃ = 7, S₃ = ((a₁ + a₃)·3)/2 = 15 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = (1 − 2a)x + 1, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   f(1) = 2 − 2a, f(−1) = 2a - 2p 2 − 2a = 2a ⇒ 4a = 2 ⇒ a = 1/2 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 + log₂(2x + 1) = log₂ 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   1 + log₂(2x + 1) = 2 - 2p log₂(2x + 1) = 1 ⇒ 2x + 1 = 2 ⇒ x = 1/2, care convine - 3p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie pătrat perfect.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2/5

   Numerele naturale de o cifră, pătrate perfecte sunt: 0, 1, 4, 9, deci sunt patru cazuri favorabile - 2p Numerele naturale de o cifră sunt 0, 1, 2, ..., 9, deci sunt zece cazuri posibile - 2p P = (număr cazuri favorabile)/(număr cazuri posibile) = 2/5 - 1p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,4), B(−3,2) și C(5,2). Determinați lungimea medianei triunghiului…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   AM mediană ⇒ M mijlocul laturii BC ⇒ x_M = (x_B + x_C)/2 = 1, y_M = (y_B + y_C)/2 = 2 - 2p AM = √((x_M − x_A)² + (y_M − y_A)²) = √4 = 2 - 3p

6. 6. Calculați √3·sin 60°·sin 45° − 3·sin 30°·cos 45°.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   sin 30° = 1/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, sin 60° = √3/2 - 3p √3·(√3/2)·(√2/2) − 3·(1/2)·(√2/2) = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 3 ∗ 4 = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   3 ∗ 4 = −((3 − 1)·(4 − 1))/3 + 1 = - 2p = −(2·3)/3 + 1 = −2 + 1 = −1 - 3p

2. 2. Verificați dacă e = −2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ (−2) = −((x−1)·(−3))/3 + 1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x - 2p (−2) ∗ x = −((−2−1)·(x−1))/3 + 1 = x−1+1 = x, pentru orice număr real x, deci e = −2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

3. 3. Determinați numărul real a pentru care a ∗ 7 = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   −((a − 1)·(7 − 1))/3 + 1 = 5 - 2p −(a − 1)·2 + 1 = 5, de unde obținem a = −1 - 3p

4. 4. Determinați valorile reale ale lui x pentru care x ∗ (1 + x) ≥ −3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ [−3, 4]

   x ∗ (1 + x) = −((x − 1)·(1 + x − 1))/3 + 1 = −x(x − 1)/3 + 1 - 2p −x(x − 1)/3 + 1 ≥ −3, deci x² − x − 12 ≤ 0, de unde obținem x ∈ [−3, 4] - 3p

5. 5. Determinați cel mai mare număr natural n pentru care n ∗ n ∗ n ≤ n.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   n ∗ n = −(n − 1)²/3 + 1, n ∗ n ∗ n = (n ∗ n) ∗ n = (−(n − 1)²/3 + 1) ∗ n = (n − 1)³/9 + 1 - 3p ((n − 1)(n − 4)(n + 2))/9 ≤ 0, n număr natural ⇒ n = 4 este cel mai mare număr natural căutat - 2p

6. 6. Determinați perechile (m,n) de numere naturale pentru care m ∗ n = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m,n) ∈ {(2,7), (3,4), (4,3), (7,2)}

   −((m−1)(n−1))/3 + 1 = −1 ⇒ (m−1)(n−1) = 6 - 2p Perechile (m,n) de numere naturale sunt: (2,7); (3,4); (4,3); (7,2) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(A) = −7.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = | 2 3 | | 1 −2 | = 2·(−2) − 1·3 = - 3p = −4 − 3 = −7 - 2p

2. 2. Arătați că det(A + xI₂) ≥ −7, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   A + xI₂ = ⎡ 2   3 ⎤ + ⎡ x  0 ⎤ = ⎡ 2 + x     3 ⎤
             ⎣ 1  −2 ⎦   ⎣ 0  x ⎦   ⎣     1  −2 + x ⎦ - 2p

   det(A + xI₂) = x² − 7, deci x² − 7 ≥ −7 ⇔ x² ≥ 0, pentru orice număr real x - 3p

3. 3. Determinați numărul real a pentru care A·A = aI₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7

   A·A = ⎡ 2   3 ⎤·⎡ 2   3 ⎤ = ⎡ 7  0 ⎤, aI₂ = ⎡ a  0 ⎤
         ⎣ 1  −2 ⎦ ⎣ 1  −2 ⎦   ⎣ 0  7 ⎦        ⎣ 0  a ⎦ - 3p
   ⎡ 7  0 ⎤ = ⎡ a  0 ⎤ ⇒ a = 7
   ⎣ 0  7 ⎦   ⎣ 0  a ⎦ - 2p

4. 4. Determinați numerele reale m pentru care det(mA − I₂) = m·det(A + I₂).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m = −1/7 sau m = 1

   det(mA − I₂) = 1 − 7m², det(A + I₂) = −6 - 2p 7m² − 6m − 1 = 0, de unde obținem m = −1/7 sau m = 1 - 3p

5. 5. Se consideră matricea M = [[x, y], [y, x]] ∈ ℳ₂(ℝ), astfel încât A·M = M·A. Arătați că y = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   A·M = [[2x + 3y, 3x + 2y], [x − 2y, −2x + y]], M·A = [[2x + y, 3x − 2y], [x + 2y, −2x + 3y]] - 3p 2x + 3y = 2x + y ⇒ y = 0 care verifică - 2p

6. 6. Determinați pentru câte valori întregi ale lui a obținem det(aA) ≥ −28.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   det(aA) = −7a² - 2p −7a² ≥ −28 ⇒ a² ≤ 4, și cum a ∈ ℤ, obținem a = −2, a = −1, a = 0, a = 1 sau a = 2 deci a poate avea 5 valori - 3p