Matematică pedagogic, sesiunea august 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 3·(3/2 − 1/6) + 2 : (1/2) = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 3·(3/2 − 1/6) + 2 : (1/2) = 3·(8/6) + 2·2 = - 3p = 4 + 4 = 8 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x − 2 și g : ℝ → ℝ, g(x) = 2x + 7. Determinați numărul real m pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   2. f(1) = 3, g(1) = 9 - 2p 3 + 9 = 2m, de unde obținem m = 6 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2^(−x) = 2^(2x−6).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   3. −x = 2x − 6 - 3p x = 2 - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0, 1, 2, 3, …, 19}, numărul 3n + 2 să aparțină…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3/10

   4. Mulțimea A are 20 de elemente, deci sunt 20 de cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 6 numere n pentru care numărul 3n + 2 aparține mulțimii A, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem p = 6/20 = 3/10 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1,0), B(0,6), C(5,4) și D, mijlocul segmentului AC. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   5. D(3,2) - 2p BD = 5 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 4 și AC = 8. Arătați că sin C = √5/5.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. BC = 4√5 - 2p sin C = AB/BC = 4/(4√5) = √5/5 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 0 ∗ 9 = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 0 ∗ 9 = 0·9 + 90 − 9·0 − 9·9 = - 3p = 90 − 81 = 9 - 2p

2. 2. Arătați că x ∗ y = (x − 9)(y − 9) + 9, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. x ∗ y = xy − 9x − 9y + 81 + 9 = - 2p = x(y − 9) − 9(y − 9) + 9 = (x − 9)(y − 9) + 9, pentru orice numere reale x și y - 3p

3. 3. Arătați că e = 10 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   3. x ∗ 10 = (x − 9)(10 − 9) + 9 = x − 9 + 9 = x, pentru orice număr real x - 2p 10 ∗ x = (10 − 9)(x − 9) + 9 = x − 9 + 9 = x, pentru orice număr real x, deci e = 10 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

4. 4. Determinați simetricul numărului 26/3 în raport cu legea de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   4. (26/3) ∗ x = x ∗ (26/3) = 10, deci (26/3 − 9)(x − 9) + 9 = (x − 9)(26/3 − 9) + 9 = 10 - 3p x = 6 - 2p

5. 5. Calculați 3⁰ ∗ 3¹ ∗ 3² ∗ 3³ ∗ 3⁴.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 9

   5. x ∗ 9 = 9 și 9 ∗ y = 9, pentru orice numere reale x și y - 2p 3⁰ ∗ 3¹ ∗ 3² ∗ 3³ ∗ 3⁴ = (3⁰ ∗ 3¹) ∗ 9 ∗ 3³ ∗ 3⁴ = 9 ∗ (3³ ∗ 3⁴) = 9 - 3p

6. 6. Determinați numerele naturale de forma a̅b̅ pentru care a ∗ b = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 68 și 86

   6. (a − 9)(b − 9) + 9 = 12 ⇔ (a − 9)(b − 9) = 3 - 2p Cum a și b sunt cifre, a ≠ 0, obținem numerele 68 și 86 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(M(1)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.

   M(1) = ⎛ 1  1⎞
          ⎝−3  1⎠

   ⇒ det(M(1)) = |1, 1; −3, 1| = 1·1 − 1·(−3) = - 3p = 1 + 3 = 4 - 2p

2. 2. Arătați că 3M(4) − M(2) = 2M(5).

   −+din 5
   Arată baremul

   2.

   3M(4) − M(2) = 3·⎛ 4   1⎞ − ⎛ 2  1⎞ = ⎛10   2⎞ =
                     ⎝−3  −2⎠   ⎝−3  0⎠   ⎝−6  −6⎠ - 3p
   = 2·⎛ 5   1⎞ = 2M(5) - 2p
       ⎝−3  −3⎠

3. 3. Determinați numerele reale a pentru care det(M(a)) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1 sau a = 3

   3. det(M(a)) = | a 1 | = −a² + 2a + 3, pentru orice număr real a - 3p |−3 2−a| −a² + 2a + 3 = 0, de unde obținem a = −1 sau a = 3 - 2p

4. 4. Determinați numărul real x pentru care M(3) · M(3) = xM(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   4.

   M(3) = ⎛ 3   1⎞,
          ⎝−3  −1⎠
   M(3) · M(3) = ⎛ 6   2⎞ = 2M(3) - 3p
                 ⎝−6  −2⎠

   2M(3) = xM(3), de unde obținem x = 2 - 2p

5. 5. Determinați matricea X ∈ 𝓜₂(ℝ) pentru care M(1) · X = 2M(−1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = ⎡ 1 −1⎤ ⎣−3 3⎦

   SUBIECTUL al III-lea / 5.

   (M(1))⁻¹ = ⎡1/4  −1/4⎤
               ⎣3/4   1/4⎦ - 3p

   X = 2(M(1))⁻¹ · M(−1), deci

   X = ⎡ 1  −1⎤
       ⎣−3   3⎦ - 2p

6. 6. Determinați numerele întregi m pentru care det(M(m) + mI₂) ≤ det(M(−2m)).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m ∈ {−2, −1, 0}

   SUBIECTUL al III-lea / 6. det(M(m) + mI₂) = 4m + 3, det(M(−2m)) = −4m² − 4m + 3, pentru orice număr întreg m - 2p 4m + 3 ≤ −4m² − 4m + 3, deci m² + 2m ≤ 0 și, cum m este număr întreg, obținem m = −2, m = −1 și m = 0 - 3p