Matematică pedagogic, sesiunea specială 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că √6·(√6−2)−√16+2√6=2.

   −+din 5
   Arată baremul

   √6(√6−2)−√16+2√6=√6·√6−2√6−4+2√6= - 3p =6−4=2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 1. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 4f(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   f(1) = 2, f(a) = 3a − 1, pentru orice număr real a - 3p 3a − 1 = 4 · 2, de unde obținem a = 3 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3^(4 + x) = 3^(2 − x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   4 + x = 2 − x - 3p x = −1 - 2p

4. 4. Se consideră mulțimea A={1,2,3,…,15}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să fie…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4/15

   Mulțimea A are 15 elemente, deci sunt 15 cazuri posibile - 2p În mulțimea A sunt 4 numere care sunt divizori ai lui 15, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem p=4/15 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,8), B(5,0) și C, mijlocul segmentului OA. Determinați distanța…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   C(2,4) - 3p BC=√(3²+4²)=5 - 2p

6. 6. Arătați că 2sin30° − (cos45°)² − cos60° = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin30° = 1/2, cos45° = √2/2, cos60° = 1/2 - 3p 2sin30° − (cos45°)² − cos60° = 2 · 1/2 − (√2/2)² − 1/2 = 1 − 1/2 − 1/2 = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 2∗5=27.

   −+din 5
   Arată baremul

   2∗5=2·5+2+5+10= - 3p =10+2+5+10=27 - 2p

2. 2. Arătați că x ∗ y = (x + 1)(y + 1) + 9, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ y = xy + x + y + 1 + 9 = - 2p = x(y + 1) + (y + 1) + 9 = (x + 1)(y + 1) + 9, pentru orice numere reale x și y - 3p

3. 3. Determinați numărul real x pentru care (−10) ∗ x = 10 + x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   (−10) ∗ x = −9x, pentru orice număr real x - 2p −9x = 10 + x, de unde obținem x = −1 - 3p

4. 4. Determinați numerele reale x pentru care x ∗ (−x) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −3 sau x = 3

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al II-lea / 4. x ∗ (−x) = −x² + 10, pentru orice număr real x - 3p −x² + 10 = 1, deci −x² + 9 = 0, de unde obținem x = −3 sau x = 3 - 2p

5. 5. Determinați x∈[0,+∞) pentru care (x−9)∗(9−√x)=9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x=8 sau x=100

   (x−9)∗(9−√x)=(x−8)(10−√x)+9, pentru orice x∈[0,+∞) - 2p (x−8)(10−√x)+9=9, deci (x−8)(10−√x)=0, de unde obținem x=8 sau x=100, care convin - 3p

6. 6. Arătați că, pentru orice număr natural n, divizibil cu 3, numărul natural (n + 1) ∗ (n + 2) este divizibil cu 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   (n + 1) ∗ (n + 2) = (n + 2)(n + 3) + 9, pentru orice număr natural n - 2p n = 3m, unde m este număr natural, deci (n + 1) ∗ (n + 2) = 3((3m + 2)(m + 1) + 3), de unde rezultă că numărul natural (n + 1) ∗ (n + 2) este divizibil cu 3 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(B(1,−1))=2.

   −+din 5
   Arată baremul

   B(1,−1) = ⎛ 1  1⎞
              ⎝−1  1⎠
   ⇒ det(B(1,−1)) = │ 1  1│
                     │−1  1│ = 1·1−1·(−1)= - 3p

   =1+1=2 - 2p

2. 2. Arătați că A · B(1, −3) = 4I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   B(1, −3) = [1 1; −3 1] ⇒ A · B(1, −3) = [4 0; 0 4] = - 3p = 4[1 0; 0 1] = 4I₂ - 2p

3. 3. Determinați numerele reale a și b pentru care A−2I₂=B(a,b).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a=−1 și b=3

   A−2I₂ = ⎛−1  −1⎞
            ⎝ 3  −1⎠ - 2p

   ⎛−1  −1⎞   ⎛a  a⎞
   ⎝ 3  −1⎠ = ⎝b  a⎠,

   de unde obținem a=−1 și b=3 - 3p

4. 4. Determinați matricea X ∈ ℳ₂(ℝ) pentru care X · B(1, −1) = A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = [0 −1; 2 −1]

   (B(1, −1))⁻¹ = [1/2 −1/2; 1/2 1/2] - 3p X = A · (B(1, −1))⁻¹ = [0 −1; 2 −1] - 2p

5. 5. Știind că a și b sunt numere reale, a ≠ 0, astfel încât det(aA − B(a,b)) = 0, arătați că 3a = b.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   SUBIECTUL al III-lea / 5.

   aA − B(a,b) = ⎛  0     −2a⎞
                 ⎝3a − b    0⎠

   ⇒ det(aA − B(a,b)) = 2a(3a − b), pentru orice numere reale a și b - 3p 2a(3a − b) = 0 și, cum a ≠ 0, rezultă că 3a = b - 2p

6. 6. Determinați perechile (a,b) de numere reale, cu a<b, pentru care (a+b)B(a,b)+bB(a+b,−b)=B(25,6).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (a,b)∈{(2,3), (−3,−2)}

   (a+b)B(a,b)+bB(a+b,−b) = ⎛(a+b)²  (a+b)²⎞
                                   ⎝   ab     (a+b)²⎠,

   pentru orice numere reale a și b - 2p

   ⎛(a+b)²  (a+b)²⎞   ⎛25  25⎞
   ⎝   ab     (a+b)²⎠ = ⎝ 6  25⎠,

   de unde obținem a+b=5 și ab=6 sau a+b=−5 și ab=6 și, cum a<b, perechile sunt (2,3) și (−3,−2) - 3p