Matematică pedagogic, sesiunea iunie-iulie 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (14/5)·(1 − 1/6) + 2/3 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   (14/5)·(1 − 1/6) + 2/3 = (14/5)·(5/6) + 2/3 = - 3p = 7/3 + 2/3 = 3 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 4x − 1 și numărul a = f(1). Calculați f(a).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 11

   f(1) = 3, deci a = 3 - 2p f(a) = f(3) = 11 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 10³·10ˣ = 100.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   10⁽³⁺ˣ⁾ = 10², de unde obținem 3 + x = 2 - 3p x = −1 - 2p

4. 4. După două ieftiniri succesive, cu câte 50%, un obiect costă 200 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de cele…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 800 de lei

   Prețul după prima ieftinire este x − (50/100)·x = x/2, unde x este prețul înainte de cele două ieftiniri - 2p Prețul după a doua ieftinire este x/2 − (50/100)·(x/2) = x/4, deci x/4 = 200, de unde obținem x = 800 de lei - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,0), B(6,2) și C, mijlocul segmentului OB. Arătați că AC = √2.

   −+din 5
   Arată baremul

   C(3,1) - 2p AC = √(1² + 1²) = √2 - 3p

6. 6. Arătați că 2sin45°·sin30° − √2cos60° = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin45° = √2/2, sin30° = 1/2, cos60° = 1/2 - 3p 2sin45°·sin30° − √2cos60° = 2·(√2/2)·(1/2) − √2·(1/2) = √2/2 − √2/2 = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. Arătați că 3 ∗ 3 = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   3 ∗ 3 = 3 · 3 − 3 − 2 · 3 + 4 = - 3p = 9 − 3 − 6 + 4 = 4 - 2p

2. 2. Determinați numărul real x pentru care x ∗ (−2) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   x ∗ (−2) = −3x + 8, pentru orice număr real x - 3p −3x + 8 = x, de unde obținem x = 2 - 2p

3. 3. Determinați numerele reale x pentru care (−x) ∗ x = 2x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −4 sau x = 1

   (−x) ∗ x = −x² − x + 4, pentru orice număr real x - 2p −x² − x + 4 = 2x, deci x² + 3x − 4 = 0, de unde obținem x = −4 sau x = 1 - 3p

4. 4. Arătați că x ∗ y = (x − 2)(y − 1) + 2, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ y = xy − 2y − x + 2 + 2 = - 2p = y(x − 2) − (x − 2) + 2 = (x − 2)(y − 1) + 2, pentru orice numere reale x și y - 3p

5. 5. Determinați numerele reale nenule a pentru care 4 ∗ (4 ∗ a) = 1/a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1/2 sau a = 1/2

   4 ∗ a = 2a, 4 ∗ (4 ∗ a) = 4a, pentru orice număr real a - 2p 4a = 1/a, de unde obținem a = −1/2 sau a = 1/2, care convin - 3p

6. 6. Determinați perechile (n,p) de numere naturale pentru care n ∗ p = p.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (n,p) ∈ {(2,2), (4,0)}

   n ∗ p = (n − 2)(p − 1) + 2, deci (n − 2)(p − 1) + 2 = p - 2p (n − 3)(p − 1) = −1, de unde obținem perechile (2,2) și (4,0) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. Arătați că det(A(2)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(2) = [[2, 2], [−2, −1]] ⇒ det(A(2)) = det([[2, 2], [−2, −1]]) = 2·(−1) − 2·(−2) = - 3p = −2 + 4 = 2 - 2p

2. 2. Determinați numărul real a pentru care 3A(2) − A(4) = 2A(a).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   3A(2) − A(4) =

   ⎡ 6   6⎤   ⎡ 0   4⎤   ⎡ 6  2⎤     ⎡ 3  1⎤
   ⎣−6  −3⎦ − ⎣−4  −3⎦ = ⎣−2  0⎦ = 2 ⎣−1  0⎦ = 2A(1) - 3p

   2A(a) = 2A(1), de unde obținem a = 1 - 2p

3. 3. Determinați numerele reale x pentru care det(A(x)) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = 2

   det(A(x)) = 2x² − 5x + 4, pentru orice număr real x - 2p 2x² − 5x + 4 = x, deci x² − 3x + 2 = 0, de unde obținem x = 1 sau x = 2 - 3p

4. 4. Arătați că matricea B = (1/2)(I₂ − A(2)) este inversa matricei A(2).

   −+din 5
   Arată baremul

   B = ⎡−1/2  −1⎤
       ⎣  1    1⎦ - 2p

   A(2)·B = B·A(2) = I₂, deci matricea B este inversa matricei A(2) - 3p

5. 5. Determinați numerele reale x și y pentru care A(x)·A(x) = yI₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 5/2 și y = −4

   A(x)·A(x) = ⎡16 − 8x    5x − 2x²⎤
               ⎣−5x + 2x²   1 − 2x ⎦, pentru orice număr real x - 3p
   ⎡16 − 8x    5x − 2x²⎤   ⎡y  0⎤
   ⎣−5x + 2x²   1 − 2x ⎦ = ⎣0  y⎦, de unde obținem x = 5/2 și y = −4 - 2p

6. 6. Determinați matricea X ∈ ℳ₂(ℝ) pentru care X − A(2)·X = A(3).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = [[−2, 1], [1/2, −2]]

   (I₂ − A(2))·X = A(3) și, cum (I₂ − A(2))⁻¹ = (1/2)A(2), obținem X = (1/2)A(2)·A(3) - 3p X = [[−2, 1], [1/2, −2]] - 2p