Matematică științele naturii, sesiunea august 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că media aritmetică a numerelor a = 20 − √21 și b = 22 + √21 este egală cu 21.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. mₐ = (a + b)/2 = (20 − √21 + 22 + √21)/2 = - 3p = 42/2 = 21 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f: ℝ → ℝ, f(x)=x−1 și g: ℝ → ℝ, g(x)=3−x. Arătați că f(a)+g(a)=2, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. f(a)=a−1, pentru orice număr real a 2p g(a)=3−a ⇒ f(a)+g(a)=a−1+3−a=2, pentru orice număr real a 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(7x − 6) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ {1, 6}

   7x − 6 = x² ⇒ x² − 7x + 6 = 0 - 2p x = 1 sau x = 6, care convin - 3p

4. 4. Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4}.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 8

   Cifra unităților se poate alege în 2 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma 2 · 4 = 8 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(6,0) și B(6,6). Arătați că triunghiul AOM este isoscel, unde punctul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   5. M(3,3) - 2p OM = 3√2, AM = 3√2, de unde obținem că triunghiul AOM este isoscel - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, astfel încât AC = 4 și măsura unghiului B este egală cu 60°. Arătați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Măsura unghiului ACB este egală cu 30° - 2p Dacă AD este înălțimea din vârful A a triunghiului ABC, atunci triunghiul ACD este dreptunghic, cu unghiul ACD de 30°, de unde obținem AD = AC/2 = 2 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1))=3.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   A(1) = ⎛1  −1⎞ ⇒ det(A(1)) = │1  −1│ = 1·2−(−1)·1 =
          ⎝1   2⎠               │1   2│

   3p = 2+1=3 2p

2. 1. b) Arătați că A(−1)·A(2)−A(−1)=2I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   b)

   A(−1) = ⎛ 1  1⎞, A(2) = ⎛1  −2⎞
           ⎝−1  0⎠          ⎝2   3⎠
   ⇒ A(−1)·A(2)−A(−1) = ⎛ 3  1⎞ − ⎛ 1  1⎞ =
                          ⎝−1  2⎠   ⎝−1  0⎠

   3p

   = ⎛2  0⎞ = 2I₂
     ⎝0  2⎠

   2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care A(x)·A(−x)+xA(x)=3I₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x=−2 sau x=1

   c)

   A(x)·A(−x)+xA(x) = ⎛1+x²  x²⎞ + ⎛ x   −x² ⎞
                       ⎝ −x²   1⎠   ⎝x²  x²+x⎠
   = ⎛1+x+x²     0   ⎞ = (x²+x+1)I₂,
     ⎝   0     1+x+x²⎠

   pentru orice număr real x 3p (x²+x+1)I₂=3I₂, de unde obținem x²+x−2=0, deci x=−2 sau x=1 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ 2 = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2.a) 1 ∘ 2 = 4(1 · 2 + 1) − 3(1 + 2) = - 3p = 12 − 9 = 3 - 2p

5. 2. b) Arătați că, dacă a ∘ 3 = 4, atunci a ∘ (−a) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   b) a ∘ 3 = 9a − 5, deci 9a − 5 = 4, de unde obținem a = 1 - 3p a ∘ (−a) = 1 ∘ (−1) = 4(−1 + 1) − 3(1 − 1) = 0 - 2p

6. 2. c) Determinați valorile reale ale lui x pentru care (x ∘ 1) ∘ (x − 1) ≤ 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ [−1/2,2]

   Reguli generale:

   c) x ∘ 1 = x + 1, (x ∘ 1) ∘ (x − 1) = 4x² − 6x, pentru orice număr real x - 3p 4x² − 6x ≤ 4, de unde obținem x ∈ [−1/2,2] - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = ((x − 1)(4x + 5))/x, x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1.a) f′(x) = 4x + 1 − 5/x = - 3p = (4x² + x − 5)/x = ((x − 1)(4x + 5))/x, x ∈ (0,+∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că lim(x → +∞) [(f(x) + 5 ln x)/(3 − x − x²)] = −2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   b) lim(x → +∞) [(f(x) + 5 ln x)/(3 − x − x²)] = lim(x → +∞) [(2x² + x + 3)/(3 − x − x²)] = lim(x → +∞) [x²(2 + 1/x + 3/x²)/(x²(3/x² − 1/x − 1))] = - 3p = lim(x → +∞) [(2 + 1/x + 3/x²)/(3/x² − 1/x − 1)] = −2 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că 2x² + x ≥ 3 + 5 ln x, pentru orice x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   c) f′(x) = 0 ⇒ x = 1; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ (0,1] ⇒ f este descrescătoare pe (0,1] și f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ [1,+∞) ⇒ f este crescătoare pe [1,+∞), deci f(x) ≥ f(1), pentru orice x ∈ (0,+∞) - 3p f(1) = 6, deci 2x² + x + 3 − 5 ln x ≥ 6, de unde obținem 2x² + x ≥ 3 + 5 ln x, pentru orice x ∈ (0,+∞) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ f(x)/eˣ dx=2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀¹ f(x)/eˣ dx = ∫₀¹ (3−2x) dx = (3x−2·x²/2)|₀¹ = 3p = 3−1=2 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀² f(x) dx=e²−5.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₀² f(x) dx = ∫₀² (3−2x)eˣ dx = [(3−2x)eˣ]|₀²+2[eˣ]|₀² = 3p = −e²−3+2e²−2=e²−5 2p

6. 2. c) Determinați a ∈ (−∞,1) pentru care ∫ₐ¹ e³ˣ/f³(x) dx=2/9.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   c) ∫ₐ¹ e³ˣ/f³(x) dx = ∫ₐ¹ 1/(3−2x)³ dx = −(1/2)∫ₐ¹ (3−2x)′/(3−2x)³ dx = (1/4)·[1/(3−2x)²]|ₐ¹ = (1/4)·(1−1/(3−2a)²), pentru orice a ∈ (−∞,1) 3p (1/4)·(1−1/(3−2a)²)=2/9 și, cum a ∈ (−∞,1), obținem a=0 2p