Matematică științele naturii, simulare 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Calculați termenul b₄ al progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥₁, știind că b₁ = √2 și b₂ = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 32

   q = b₂/b₁ = 2√2, unde q este rația progresiei geometrice (bₙ)ₙ≥₁ - 2p b₄ = b₁q³ = √2·(2√2)³ = 32 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = mx² − 2x + 1, unde m este număr real nenul. Determinați numărul real nenul m…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   Axa Ox este tangentă graficului funcției f ⇔ Δ = 0 ⇔ 4 − 4m = 0 - 3p m = 1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3^(x+2) − 3^x − 6·3^(x−1) = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   3^(x−1)(3³ − 3 − 6) = 6 ⇔ 3^(x−1)·18 = 6 ⇔ 3^(x−1) = 1/3 - 3p x − 1 = −1, deci x = 0 - 2p

4. 4. Se consideră mulțimea A, a numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/2

   Mulțimea A are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p Numărul 2n − 60 aparține mulțimii A dacă 10 ≤ 2n − 60 ≤ 99, deci sunt 45 de cazuri favorabile, de unde obținem p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 45/90 = 1/2 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1,4), B(5,2) și C, mijlocul segmentului AB. Determinați ecuația…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 3x − 3

   m_AB = −1/3 și, cum d ⟂ AB, obținem m_d = 3 - 2p C(2,3) și, cum C ∈ d, obținem că ecuația dreptei d este y − 3 = 3(x − 2), adică y = 3x − 3 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu măsura unghiului A egală cu 120° și AB = 6. Arătați că aria triunghiului ABC…

   −+din 5
   Arată baremul

   AC = AB = 6 - 2p 𝒜_ΔABC = (AB·AC·sin 120°)/2 = (6·6·(√3/2))/2 = 9√3 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = |0 1; −1 0| = 0·0 − 1·(−1) = - 3p = 0 + 1 = 1 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care B(3)·B(5) = 8B(x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   B(3)·B(5) = (3I₂ + iA)(5I₂ + iA) = 15I₂ + 8iA + i²A·A = 16I₂ + 8iA = - 3p = 8(2I₂ + iA) = 8B(2), deci x = 2 - 2p

3. 1. c) Determinați perechile (m, n) de numere întregi pentru care matricea B(m) + iB(n) nu este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(−1, −1), (1, 1)}

   B(m) + iB(n) = ⎛m + in    i − 1⎞
                    ⎝−i + 1   m + in⎠

   ⇒ det(B(m) + iB(n)) = (m + in)² − 2i, unde m, n ∈ ℤ - 2p B(m) + iB(n) nu este inversabilă, deci det(B(m) + iB(n)) = 0 ⇒ m² − n² + 2(mn − 1)i = 0 și, cum m și n sunt numere întregi, obținem perechile (−1, −1) și (1, 1) - 3p

4. 2. a) Arătați că 2 ∗ 5 = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   2 ∗ 5 = 2·5 − √((2 − 1)(5 − 1)) = - 3p = 10 − √4 = 8 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ 1 = x·1 − √((x − 1)(1 − 1)) = x, pentru orice x ∈ M - 2p 1 ∗ x = 1·x − √((1 − 1)(x − 1)) = x, pentru orice x ∈ M, deci e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

6. 2. c) Demonstrați că (nx) ∗ y ≥ x(n ∗ y), pentru orice x, y ∈ M și orice număr natural n, n ≥ 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   ((nx) ∗ y) − x(n ∗ y) = x√((n − 1)(y − 1)) − √((nx − 1)(y − 1)) = √(y − 1)·((x − 1)(nx − x − 1))/(x√(n − 1) + √(nx − 1)), pentru x, y ∈ M și n ∈ ℕ, n ≥ 2 - 2p Cum nx − x − 1 = x(n − 1) − 1 și x ≥ 1, n este număr natural, n ≥ 2, obținem nx − x − 1 ≥ 0, deci (nx) ∗ y ≥ x(n ∗ y), pentru orice x, y ∈ M și orice număr natural n, n ≥ 2 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 6(1 − x²)/(√x(x² + 3)²), x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = ((2/√x)·(x² + 3) − 4√x·2x)/(x² + 3)² = - 3p = (2x² + 6 − 8x²)/(√x(x² + 3)²) = 6(1 − x²)/(√x(x² + 3)²), x ∈ (0,+∞) - 2p

2. 1. b) Determinați a ∈ (0,+∞), știind că tangenta la graficul funcției f în punctul A(a,f(a)) este paralelă cu axa Ox.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   Tangenta la graficul funcției f în punctul A(a,f(a)) este paralelă cu axa Ox ⇔ f′(a) = 0, deci 1 − a² = 0 - 3p Cum a ∈ (0,+∞), obținem a = 1 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că √x/(x² + 3) > √(x + 1/x)/(x² + 1/x² + 5), pentru orice x ∈ (1,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (1,+∞) ⇒ f este strict descrescătoare pe (1,+∞) - 2p 1 < x < x + 1/x ⇒ f(x) > f(x + 1/x), deci √x/(x² + 3) > √(x + 1/x)/(x² + 1/x² + 5), pentru orice x ∈ (1,+∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ eˣf(x) dx = e.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. a) ∫₀¹ eˣf(x) dx = ∫₀¹ (eˣ + 2x) dx = [eˣ + x²]₀¹ = - 3p = e + 1 − 1 = e - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₋₁⁰ f(x) dx = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2. b) ∫₋₁⁰ f(x) dx = ∫₋₁⁰ (1 + 2xe⁻ˣ) dx = [x − 2(x + 1)e⁻ˣ]₋₁⁰ = - 3p = −2 − (−1) = −1 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₀¹ F(x)f″(x) dx = a(e + 1)/e², unde F : ℝ → ℝ este primitiva funcției f cu…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   Reguli generale:

   2. c) F′(x) = f(x), pentru orice x ∈ ℝ, deci ∫₀¹ F(x)f″(x) dx = [F(x)f′(x)]₀¹ − [f²(x)/2]₀¹ = = F(1)f′(1) − F(0)f′(0) − (f²(1) − f²(0))/2 - 3p f′(x) = 2(1 − x)e⁻ˣ, deci f′(1) = 0 și, cum F(0) = 0, obținem ∫₀¹ F(x)f″(x) dx = −2(e + 1)/e², deci a = −2 - 2p