Matematică științele naturii, sesiunea iunie-iulie 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 4 − 6√3 + 3(2√3 − 1) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 4 − 6√3 + 3(2√3 − 1) = 4 − 6√3 + 6√3 − 3 = - 3p = 4 − 3 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 5x − 3 și g : ℝ → ℝ, g(x) = 2x + 3. Determinați numărul real a pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   5a − 3 = 2a + 3 - 3p a = 2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2^(2x+1) · 2³ = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   2^(2x+4) = 2⁰, de unde obținem 2x + 4 = 0 - 3p x = −2 - 2p

4. 4. Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A = {3, 4, 5, 6}.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 12

   4. Cifra zecilor se poate alege în 4 moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 3 moduri, deci sunt 4 · 3 = 12 numere - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4, 0), B(0, 2), C(3, 3) și M, mijlocul segmentului AB. Arătați că…

   −+din 5
   Arată baremul

   5. M(2, 1), de unde obținem MO = √5 - 3p MC = √5, deci MO = MC - 2p

6. 6. Se consideră E(x) = 2 sin x sin 2x − cos x, unde x este număr real. Arătați că E(π/6) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. sin(π/6) = 1/2, sin(π/3) = √3/2, cos(π/6) = √3/2 - 3p E(π/6) = 2 · (1/2) · (√3/2) − √3/2 = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a)

   A(0) = ⎛3  2⎞
          ⎝1  1⎠

   ⇒ det(A(0)) = |3 2; 1 1| = 3·1 − 2·1 = - 3p = 3 − 2 = 1 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(0)·(A(a) − A(0)) = aI₂, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. b)

   A(a) − A(0) = ⎛ a  −2a⎞
                 ⎝−a   3a⎠ - 2p
   A(0)·(A(a) − A(0)) = ⎛a  0⎞ = a⎛1  0⎞ = aI₂, pentru orice număr real a - 3p
                        ⎝0  a⎠    ⎝0  1⎠

3. 1. c) Demonstrați că det(A(a²) − aA(a)) ≥ 0, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c)

   A(a²) = ⎛3 + a²  2 − 2a²⎞,
           ⎝1 − a²  1 + 3a²⎠
   A(a²) − aA(a) = ⎛3 − 3a  2 − 2a⎞
                    ⎝1 − a   1 − a ⎠ - 2p

   det(A(a²) − aA(a)) = 3(1 − a)² − 2(1 − a)² = (1 − a)² ≥ 0, pentru orice număr real a - 3p

4. 2. a) Arătați că 0 ∘ 2 = 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   0 ∘ 2 = 0² − 4 · 0 · 2 + 3 · 2² = - 3p = 0 − 0 + 12 = 12 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care (2x) ∘ x = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = −1 sau x = 1

   (2x) ∘ x = −x², pentru orice număr real x - 2p −x² = −1, de unde obținem x = −1 sau x = 1 - 3p

6. 2. c) Determinați perechile (m, n) de numere întregi, cu m < n, pentru care m ∘ n = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(−4, −1), (0, 1)}

   m ∘ n = m² − mn − 3mn + 3n² = (m − n)(m − 3n), pentru orice numere întregi m și n - 2p (m − n)(m − 3n) = 3 și, cum m și n sunt numere întregi cu m < n, obținem perechile (−4, −1) și (0, 1) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 4(2 − x)/x³, x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = [4x² − (4x − 4) · 2x]/x⁴ = - 3p = 4x(2 − x)/x⁴ = 4(2 − x)/x³, x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 5

   lim(x → +∞) f(x) = lim(x → +∞) (5 + (4x − 4)/x²) = lim(x → +∞) (5 + 4/x − 4/x²) = 5 - 3p Dreapta de ecuație y = 5 este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f - 2p

3. 1. c) Demonstrați că |f(x) − f(y)| ≤ 1, pentru orice x, y ∈ [1, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = 0 ⇔ x = 2; pentru orice x ∈ [1, 2], f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe [1, 2] și pentru orice x ∈ [2, +∞), f′(x) ≤ 0 ⇒ f este descrescătoare pe [2, +∞) - 2p f(1) = 5, f(2) = 6 și lim(x → +∞) f(x) = 5, deci 5 ≤ f(x) ≤ 6, pentru orice x ∈ [1, +∞), de unde obținem |f(x) − f(y)| ≤ 1, pentru orice x, y ∈ [1, +∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x) − 4 ln x) dx = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₁² (f(x) − 4 ln x) dx = ∫₁² 3x² dx = [x³]₁² = - 3p = 8 − 1 = 7 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ x(f(x) − 3x²) dx = e² + 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₁ᵉ x(f(x) − 3x²) dx = ∫₁ᵉ 4x ln x dx = ∫₁ᵉ (2x²)′ ln x dx = [2x² ln x]₁ᵉ − [x²]₁ᵉ = - 3p = 2e² − 0 − e² + 1 = e² + 1 - 2p

6. 2. c) Demonstrați că ∫₁^{√e} f(x)F″(x) dx = ((3e − 1)(3e + 5))/2, pentru orice primitivă F : (0, +∞) → ℝ a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) F′(x) = f(x) ⇒ F″(x) = f′(x), x ∈ (0, +∞) - 2p ∫₁^{√e} f(x)F″(x) dx = ∫₁^{√e} f(x)f′(x) dx = [f²(x)/2]₁^{√e} = ((3e + 2)² − 3²)/2 = ((3e − 1)(3e + 5))/2 - 3p