Matematică științele naturii, simulare 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 2(1 + i) − i(2 − i) = 1, unde i² = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2(1 + i) − i(2 − i) = 2 + 2i − 2i + i² = - 3p = 2 − 1 = 1 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x + 10. Determinați numărul real a pentru care punctul A(2a,a) aparține…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   2. f(2a) = a ⇔ 6a + 10 = a - 3p a = −2 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(2x² + 2) = 2x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   2x² + 2 = 4x², de unde obținem x² − 1 = 0 - 2p x = −1, care nu convine; x = 1, care convine - 3p

4. 4. Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre, se pot forma cu elementele mulțimii A = {0,1,2,3,4}.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 40

   4. Cifra unităților se poate alege în două moduri - 2p Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în 5 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei unităților și a cifrei zecilor, cifra sutelor se poate alege în 4 moduri, deci se pot forma 2·5·4 = 40 de numere - 3p

5. 5. Determinați numărul real a pentru care vectorii u⃗ = ai⃗ + (a − 1)j⃗ și v⃗ = i⃗ + 2j⃗ sunt coliniari.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   a/1 = (a − 1)/2 - 3p a = −1 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu măsura unghiului B egală cu π/6 și BC = 24. Bisectoarea unghiului C…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: CD = 8√3

   AC = 12; ∠ACD = π/6 - 3p AC/CD = cos(π/6), de unde obținem CD = 8√3 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   det(A(1)) =

   │2  −1  1│
   │0   1  0│
   │1  −1  2│

   = 2·1·2 + (−1)·0·1 + 0·(−1)·1 − 1·1·1 − (−1)·0·2 − 0·(−1)·2 = - 3p = 4 + 0 + 0 − 1 − 0 − 0 = 3 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care A(0)·A(x) = A(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   A(0) =

   ⎛1  −1  1⎞
   ⎜0   0  0⎟
   ⎝1  −1  1⎠,

   A(0)·A(x) =

   ⎛x+2  −x−2  x+2⎞
   ⎜ 0     0     0 ⎟
   ⎝x+2  −x−2  x+2⎠,

   pentru orice număr real x - 3p x = −1 - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale a și b pentru care (A(1))⁻¹ = aA(1) + bI₃, unde (A(1))⁻¹ este inversa matricei A(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = −1/3 și b = 4/3

   (A(1))⁻¹ = aA(1) + bI₃ ⇔ aA(1)·A(1) + bA(1) = I₃ și A(1)·A(1) =

   ⎛5  −4  4⎞
   ⎜0   1  0⎟
   ⎝4  −4  5⎠,

   de unde obținem

   ⎛5a+2b  −4a−b   4a+b ⎞
   ⎜  0      a+b     0   ⎟
   ⎝ 4a+b  −4a−b  5a+2b⎠

   =

   ⎛1  0  0⎞
   ⎜0  1  0⎟
   ⎝0  0  1⎠ - 3p

   a = −1/3 și b = 4/3 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ 2 = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∗ 2 = 1·2 + 1 + 2 − 1 + 2^(1·2) = - 3p = 4 + 4 = 8 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ 0 = x·0 + x + 0 − 1 + 2^(x·0) = x, pentru orice număr real x - 2p 0 ∗ x = 0·x + 0 + x − 1 + 2^(0·x) = x, pentru orice număr real x, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

6. 2. c) Determinați numărul natural nenul n pentru care n ∗ (−1/n) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   n ∗ (−1/n) = (2n² − 3n − 2)/(2n), pentru orice număr natural nenul n - 2p (2n² − 3n − 2)/(2n) = 0 ⇒ 2n² − 3n − 2 = 0 și, cum n este număr natural nenul, obținem n = 2 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = −(ln x)/x², x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = ((2 + 1/x)·x − (2x + 1 + ln x))/x² = - 3p = (2x + 1 − 2x − 1 − ln x)/x² = −(ln x)/x², x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 2

   lim(x → +∞) f(x) = lim(x → +∞) (2x + 1 + ln x)/x = lim(x → +∞) (2 + 1/x) = 2 - 3p Ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f este y = 2 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că (ln y)/y − (ln x)/x < 1/x − 1/y, pentru orice x, y ∈ (1, +∞) cu x < y.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (1, +∞) ⇒ f este strict descrescătoare pe (1, +∞) - 2p 1 < x < y ⇒ f(x) > f(y), deci (ln y)/y − (ln x)/x < 1/x − 1/y, pentru orice x, y ∈ (1, +∞) cu x < y - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₃⁵ (f(x) − x³) dx = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₃⁵ (f(x) − x³) dx = ∫₃⁵ x dx = (x²/2)|₃⁵ = - 3p = 25/2 − 9/2 = 8 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀² x²/(f(x) − x + 2) dx = (ln 5)/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₀² x²/(f(x) − x + 2) dx = ∫₀² x²/(x³ + 2) dx = (1/3)∫₀² (x³ + 2)′/(x³ + 2) dx = (1/3)ln(x³ + 2)|₀² = - 3p = (ln 10)/3 − (ln 2)/3 = (ln 5)/3 - 2p

6. 2. c) Se consideră funcția g : (0,+∞) → ℝ, g(x) = f(x)e⁻ˣ/x. Arătați că orice primitivă G : (0,+∞) → ℝ a funcției g este…

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) g(x) = (x² + 1)e⁻ˣ și G′(x) = g(x), pentru orice x ∈ (0,+∞), deci G″(x) = (−x² + 2x − 1)e⁻ˣ - 3p G″(x) = −(x − 1)²e⁻ˣ ≤ 0, pentru orice x ∈ (0,+∞), deci funcția G este concavă - 2p