Matematică științele naturii, sesiunea august 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₂ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, în care a₁ = 5 și a₃ = 35.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 20

   1. a₂ = (a₁ + a₃)/2 = (5 + 35)/2 = - 3p = 40/2 = 20 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x+3. Determinați numărul real m pentru care f(m) = f(0)·f(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   Reguli generale:

   2. f(0) = 3, f(1) = 5, f(m) = 2m+3, pentru orice număr real m - 3p 2m+3 = 3·5, de unde obținem m = 6 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ∛(x²−4) = ∛(3x−6).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = 2

   Reguli generale:

   3. x²−4 = 3x−6, de unde obținem x²−3x+2 = 0 - 3p x = 1 sau x = 2 - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3/5

   4. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 6 numere n pentru care 3n² < 100, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem p = 6/10 = 3/5 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2), B(2,5) și C, astfel încât B este mijlocul segmentului AC.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: C(4,8)

   5. 2 = (0 + x_C)/2 și 5 = (2 + y_C)/2 - 3p C(4,8) - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = AC și aria egală cu 18. Arătați că BC = 6√2.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. 18 = (AB · AC)/2, deci AB = AC = 6 - 3p BC² = 72, de unde obținem BC = 6√2 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(2)) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. a)

   A(2) = ⎛−1  6⎞
          ⎝−2  9⎠ ⇒ det(A(1)) = |−1  6; −2  9| = (−1)·9 − 6·(−2) = - 3p

   = −9 + 12 = 3 - 2p

2. 1. b) Arătați că xA(y)−A(xy) = (x−1)I₂, pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. b) xA(y)−A(xy) =

   ⎛x−xy     3xy ⎞   ⎛1−xy     3xy ⎞
   ⎝ −xy   x+4xy⎠ − ⎝ −xy   1+4xy⎠ =
   ⎛x−1    0 ⎞
   ⎝ 0    x−1⎠ = - 3p
   = (x−1)⎛1  0⎞
          ⎝0  1⎠ = (x−1)I₂, pentru orice numere reale x și y - 2p

3. 1. c) Determinați numerele reale x pentru care A(1)·A(x−1) = xA(x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = 3

   Reguli generale:

   1. c) A(1)·A(x−1) =

   ⎛ 0  3⎞ ⎛ 2−x   3x−3⎞
   ⎝−1  5⎠·⎝−x+1   4x−3⎠ =
   ⎛3−3x   12x−9 ⎞
   ⎝3−4x   17x−12⎠,

   pentru orice număr real x - 3p

   ⎛3−3x   12x−9 ⎞   ⎛x−x²     3x² ⎞
   ⎝3−4x   17x−12⎠ = ⎝ −x²   4x²+x⎠,

   de unde obținem x = 1 sau x = 3 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ 5 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 ∘ 5 = ¼(1+1)(5+1)−1 = - 3p = 3−1 = 2 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) x ∘ 3 = ¼(x+1)(3+1)−1 = x+1−1 = x, pentru orice număr real x - 2p 3 ∘ x = ¼(3+1)(x+1)−1 = x+1−1 = x, pentru orice număr real x, deci e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

6. 2. c) Determinați perechile (m,n) de numere naturale, cu m ≤ n, pentru care m ∘ n = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m,n) ∈ {(0,15), (1,7), (3,3)}

   c) ¼(m+1)(n+1)−1 = 3 ⇔ (m+1)(n+1) = 16 - 2p Cum m și n sunt numere naturale, cu m ≤ n, obținem perechile (0,15), (1,7) și (3,3) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = ((2x−1)(x−1))/x, x ∈ (0,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. a) f′(x) = 2x−3+1/x = - 3p = (2x²−3x+1)/x = ((2x−1)(x−1))/x, x ∈ (0,+∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că limₓ→₁ (f(x)+3x)/(ln x) = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. b) limₓ→₁ (f(x)+3x)/(ln x) = limₓ→₁ (x²−1+ln x)/(ln x) = limₓ→₁ ((x²−1+ln x)′)/((ln x)′) = - 3p = limₓ→₁ (2x+1/x)/(1/x) = 3 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că f(x)+f(y) ≤ −21/4, pentru orice x ∈ (0,1] și orice y ∈ [1,2].

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1. c) f′(x) = 0 ⇔ x = 1/2 sau x = 1; pentru orice x ∈ (0,1/2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (0,1/2], pentru orice x ∈ [1/2,1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [1/2,1] și, pentru orice x ∈ [1,2], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1,2] - 3p Pentru orice x ∈ (0,1] și orice y ∈ [1,2], rezultă f(x) ≤ f(1/2) și f(y) ≤ f(2) și, cum f(1/2) = −9/4−ln 2 și f(2) = −3+ln 2, obținem f(x)+f(y) ≤ −21/4 - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₂⁴ f(x)√x dx = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₂⁴ f(x)√x dx = ∫₂⁴ (x−1) dx = [x²/2]₂⁴ − [x]₂⁴ = - 3p = 6−2 = 4 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁⁴ f(x) dx = 8/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) ∫₁⁴ f(x) dx = ∫₁⁴ (√x − 1/√x) dx = [2x√x/3]₁⁴ − [2√x]₁⁴ = - 3p = 14/3−2 = 8/3 - 2p

6. 2. c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g : [2,3] → ℝ, g(x) = √2/f(x), în jurul axei Ox…

   −+din 5
   Arată baremul

   c) g(x) = √(2x)/(x−1), x ∈ [2,3], deci V = π∫₂³ (g(x))² dx = 2π∫₂³ x/(x−1)² dx = - 2p = 2π∫₂³ (1/(x−1) + 1/(x−1)²) dx = 2π([ln(x−1)]₂³ − [1/(x−1)]₂³) = π ln(4e) - 3p