Matematică științele naturii, simulare 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 2i(6 − i) + 3(1 − 4i) = 5, unde i² = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   2i(6 − i) + 3(1 − 4i) = 12i − 2i² + 3 − 12i = - 3p = −2(−1) + 3 = 5 - 2p

2. 2. Determinați numărul real a pentru care (f ∘ f)(a) = 2a.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 10

   f(a) = a + 5, (f ∘ f)(a) = a + 10, pentru orice număr real a - 3p a + 10 = 2a, de unde obținem a = 10 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(x² + 4x − 4) = x√2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   3. x² + 4x − 4 = 2x², de unde obținem x² − 4x + 4 = 0 - 3p x = 2, care convine - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul 2ⁿ să fie…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3/5

   În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile - 2p 2ⁿ este divizibil cu 16 dacă și numai dacă n ≥ 4, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem p = 6/10 = 3/5 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 1) și B(2, 4). Arătați că triunghiul OAB este dreptunghic în A.

   −+din 5
   Arată baremul

   5. m_OA = 1/3 - 2p m_AB = −3, deci m_OA · m_AB = −1, de unde obținem că triunghiul OAB este dreptunghic în A - 3p

6. 6. Se consideră expresia E(x) = sin x + 2cos 2x + 2sin²(x/2), unde x este număr real. Arătați că E(π/2) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. sin(π/2) = 1, cos π = −1, sin(π/4) = √2/2 - 3p E(π/2) = 1 + 2·(−1) + 2·(√2/2)² = 1 − 2 + 2·(2/4) = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   A(1) = ⎛  2   −1 ⎞
          ⎝ −2    3 ⎠
   ⇒ det(A(1)) = │ 2  −1 │ = 2·3 − (−1)·(−2) =
                 │−2   3 │

   - 3p = 6 − 2 = 4 - 2p

2. 1. b) Arătați că A(−1)·A(x) = A(−2x − 1), pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   b)

   A(−1) = ⎛ 0   1 ⎞,
           ⎝ 2  −1 ⎠
   A(−1)·A(x) = ⎛  −2x      2x + 1 ⎞ =
                ⎝ 4x + 2   −4x − 1 ⎠

   - 3p

   = ⎛ (−2x − 1) + 1      −(−2x − 1)    ⎞ = A(−2x − 1), pentru orice număr real x
     ⎝ −2(−2x − 1)       2(−2x − 1) + 1 ⎠

   - 2p

3. 1. c) Determinați perechile (m, n) de numere naturale, cu m < n, pentru care A(−1)·(A(m) + A(n)) = 2A(−4).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(0, 3), (1, 2)}

   c) A(−1)·(A(m) + A(n)) = A(−2m − 1) + A(−2n − 1) = 2A(−m − n − 1), pentru orice numere reale m și n - 3p 2A(−m − n − 1) = 2A(−4), de unde obținem m + n = 3 și, cum m și n sunt numere naturale, cu m < n, perechile sunt (0, 3) și (1, 2) - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ 2 = 15.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 ∘ 2 = 1·3² + 2·3¹ = - 3p = 1·9 + 2·3 = 15 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) x ∘ 0 = x·3⁰ + 0·3ˣ = x·1 = x, pentru orice număr real x - 2p 0 ∘ x = 0·3ˣ + x·3⁰ = x·1 = x, pentru orice număr real x, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘” - 3p

6. 2. c) Determinați numărul real nenul x pentru care x ∘ (3x) = (2x) ∘ (2x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   c) x ∘ (3x) = x·3ˣ(3²ˣ + 3), (2x) ∘ (2x) = 4x·3²ˣ, pentru orice număr real x - 2p x·3ˣ(3²ˣ + 3) = 4x·3²ˣ, deci x·3ˣ(3ˣ − 3)(3ˣ − 1) = 0 și, cum x este număr real nenul, obținem x = 1 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = eˣ(x² + x)/(x² + 3x + 3)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = [eˣ(x² + 3x + 3) − eˣ(2x + 3)]/(x² + 3x + 3)² = - 3p = eˣ(x² + 3x + 3 − 2x − 3)/(x² + 3x + 3)² = eˣ(x² + x)/(x² + 3x + 3)², x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că limₓ→₊∞ f(x) = +∞.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.b) limₓ→₊∞ f(x) = limₓ→₊∞ eˣ/(x² + 3x + 3) = limₓ→₊∞ (eˣ)′/(x² + 3x + 3)′ = limₓ→₊∞ eˣ/(2x + 3) = - 3p = limₓ→₊∞ (eˣ)′/(2x + 3)′ = limₓ→₊∞ eˣ/2 = +∞ - 2p

3. 1. c) Demonstrați că f(x) − f(y) ≤ (3 − e)/(3e), pentru orice numere reale x și y, cu x ≤ 0 ≤ y.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.c) f′(x) = 0 ⇔ x = −1 sau x = 0; pentru orice x ∈ (−∞, −1], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, −1], pentru orice x ∈ [−1, 0], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−1, 0] și, pentru orice x ∈ [0, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [0, +∞) - 2p x ∈ (−∞, 0], deci f(x) ≤ f(−1) și y ∈ [0, +∞), deci f(y) ≥ f(0) și, cum f(−1) = 1/e și f(0) = 1/3, obținem f(x) − f(y) ≤ 1/e − 1/3, deci f(x) − f(y) ≤ (3 − e)/(3e), pentru orice numere reale x și y, cu x ≤ 0 ≤ y - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² (f(x) − 3x ln x) dx = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₁² (f(x) − 3x ln x) dx = ∫₁² (4x + 1) dx = [2x² + x]₁² = - 3p = 8 + 2 − (2 + 1) = 7 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ [(f(x) − 4x − 1)/x] dx = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.b) ∫₁ᵉ [(f(x) − 4x − 1)/x] dx = ∫₁ᵉ 3 ln x dx = ∫₁ᵉ (3x)′ ln x dx = [3x ln x]₁ᵉ − [3x]₁ᵉ = - 3p = 3e − 3e + 3 = 3 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₂⁴ [(f(x) − 1)/(x² ln x)] dx = a ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7

   2.c) ∫₂⁴ [(f(x) − 1)/(x² ln x)] dx = ∫₂⁴ [(4x + 3x ln x)/(x² ln x)] dx = ∫₂⁴ (4/ln x) · (ln x)′ dx + 3∫₂⁴ (1/x) dx = [4 ln(ln x)]₂⁴ + [3 ln x]₂⁴ = - 3p = 7 ln 2, deci a ln 2 = 7 ln 2, de unde obținem a = 7 - 2p