Matematică științele naturii, model de subiect 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Se consideră numerele complexe z₁ = 4 − 3i și z₂ = 1 − 2i. Arătați că z₁ + 3iz₂ = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   z₁ + 3iz₂ = 4 − 3i + 3i(1 − 2i) = 4 − 3i + 3i − 6i² = - 2p = 4 + 6 = 10 - 3p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 3 − x și g : ℝ → ℝ, g(x) = 2x + 1. Determinați numărul real a pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   g(3) = 7, f(a) = 3 − a, pentru orice număr real a - 2p 3 − a = 3a + 7, de unde obținem a = −1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(x² + 4) = log₄ x + log₄ 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = 4

   log₄(x² + 4) = log₄(5x), de unde obținem x² − 5x + 4 = 0 - 3p x = 1 sau x = 4, care convin - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/30

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3 numere care au produsul cifrelor egal cu 4, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem p = 3/90 = 1/30 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,8), B(0,4) și C(a,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 2 și b = 4

   M(1,4) este mijlocul segmentului OA - 2p Cum M este mijlocul segmentului BC, obținem a = 2 și b = 4 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu C = π/6. Raza cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu…

   −+din 5
   Arată baremul

   6. BC = 2R = 8, unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC - 2p AB = BC/2 = 4 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(6)) = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   A(6) = ⎛ 5  1⎞ ⇒ det(A(6)) = │ 5  1│ = 5·1 − (−5)·1 = - 3p
          ⎝−5  1⎠               │−5  1│

   = 5 + 5 = 10 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real a pentru care A(3)·A(3) = aI₂.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   b)

   A(3) = ⎛ 2   1⎞ ⇒ A(3)·A(3) = ⎛2  0⎞ = 2I₂
          ⎝−2  −2⎠                ⎝0  2⎠ - 3p

   2I₂ = aI₂, de unde obținem a = 2 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că numărul N = det(A(m)·A(2) − A(m−1)) este natural, pentru orice număr întreg m.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) A(m)·A(2) − A(m−1) =

   ⎛m−1    1 ⎞⎛ 1   1⎞ − ⎛m−2    1 ⎞ = ⎛ 0     m−5 ⎞,
   ⎝1−m   m−5⎠⎝−1  −3⎠   ⎝2−m   m−6⎠   ⎝4−m   22−5m⎠

   de unde obținem N = (m−4)(m−5), pentru orice număr întreg m - 3p Cum m−4 și m−5 sunt numere întregi și (m−4)(m−5) ≥ 0, obținem că numărul N este natural, pentru orice număr întreg m - 2p

4. 2. a) Arătați că f(0) = 2, pentru orice număr real a.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) f(0) = 0³ + a·0² − 2·0 + 2 = - 3p = 0 + 0 − 0 + 2 = 2, pentru orice număr real a - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real a pentru care x₁x₂x₃(1 + x₁ + x₂ + x₃) = 4, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   2. b) x₁x₂x₃ = −2, x₁ + x₂ + x₃ = −a, x₁x₂x₃(1 + x₁ + x₂ + x₃) = −2(1 − a), pentru orice număr real a - 3p −2(1 − a) = 4, de unde obținem a = 3 - 2p

6. 2. c) Știind că polinomul f este divizibil cu polinomul X + 1, determinați restul împărțirii lui f la polinomul X² − 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -4

   2. c) f(−1) = 0, de unde obținem a = −3 - 2p f = X³ − 3X² − 2X + 2 = (X² − 2)(X − 3) − 4, deci restul împărțirii lui f la X² − 2 este −4 - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = eˣ(x² + 3x), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = eˣ(x² + x − 1) + eˣ(2x + 1) = - 3p = eˣ(x² + x − 1 + 2x + 1) = eˣ(x² + 3x), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că lim[x→0] (eˣ + f(x))/f′(x) = 1/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) lim[x→0] (eˣ + f(x))/f′(x) = lim[x→0] eˣ(x² + x)/(eˣ(x² + 3x)) = lim[x→0] x(x + 1)/(x(x + 3)) = - 3p = lim[x→0] (x + 1)/(x + 3) = 1/3 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că e^(x+3)(x² + x − 1) ≤ 5, pentru orice x ∈ (−∞, 0].

   −+din 5
   Arată baremul

   c) f′(x) = 0 ⇔ x = −3 sau x = 0; pentru orice x ∈ (−∞, −3], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe (−∞, −3] și, pentru orice x ∈ [−3, 0], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [−3, 0] - 3p f(x) ≤ f(−3), pentru orice x ∈ (−∞, 0] și, cum f(−3) = 5/e³, obținem e^(x+3)(x² + x − 1) ≤ 5, pentru orice x ∈ (−∞, 0] - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₃⁵ (f(x) − √(2x² + 1)) dx = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₃⁵ (f(x) − √(2x² + 1)) dx = ∫₃⁵ x dx = [x²/2]₃⁵ = - 3p = 25/2 − 9/2 = 8 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁² x/(f(x) − x)² dx = (ln 3)/4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₁² x/(f(x) − x)² dx = ∫₁² x/(2x² + 1) dx = (1/4)∫₁² (2x² + 1)′/(2x² + 1) dx = (1/4)[ln(2x² + 1)]₁² = - 3p = (ln 9)/4 − (ln 3)/4 = (ln 3)/4 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g : [0,2] → ℝ, g(x)…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 56

   2. c) V = π∫₀² g²(x) dx = π∫₀² (3x² + 1 + 2x√(2x² + 1)) dx = π([x³]₀² + [x]₀² + (1/2)∫₀² √(2x² + 1)·(2x² + 1)′ dx) = - 2p = π(10 + [(2x² + 1)√(2x² + 1)/3]₀²) = 56π/3, deci aπ/3 = 56π/3, de unde obținem a = 56 - 3p