Matematică științele naturii, sesiunea specială 2026

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 2√2(3 + √2) + 3(1 − 2√2) = 7.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 2√2(3 + √2) + 3(1 − 2√2) = 6√2 + 2√2·√2 + 3 − 6√2 = - 2p = 4 + 3 = 7 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 10. Determinați numărul real a pentru care f(2a) = f(a) − 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -1

   2. f(2a) = 6a − 10, f(a) = 3a − 10, pentru orice număr real a - 2p 6a − 10 = 3a − 10 − 3, de unde obținem a = −1 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(4x² − 6x + 5) = x√3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 1 sau x = 5

   3. 4x² − 6x + 5 = 3x², de unde obținem x² − 6x + 5 = 0 - 2p x = 1 sau x = 5, care convin - 3p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/15

   4. În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 6 numere care au suma cifrelor cel mult egală cu 3, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem p = 6/90 = 1/15 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 3), B(1, 5) și C(6, 0). Arătați că triunghiul ABC este…

   −+din 5
   Arată baremul

   5. m_AB = 2 - 2p m_AC = −1/2 și, cum m_AB·m_AC = −1, obținem că triunghiul ABC este dreptunghic în A - 3p

6. 6. Se consideră expresia E(x) = cos x·sin 3x − sin 2x, unde x este număr real. Arătați că E(π/6) = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. cos(π/6) = √3/2, sin(π/2) = 1, sin(π/3) = √3/2 - 3p E(π/6) = (√3/2)·1 − √3/2 = 0 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a)

   A(1) = ⎛3  0⎞
          ⎝4  2⎠
   ⇒ det(A(1)) = │3  0│ = 3·2 − 0·4 =
                 │4  2│

   - 3p = 6 − 0 = 6 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care A(−2)·A(1) − 4I₂ = A(x).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -7

   1.b)

   A(−2) = ⎛−3   0⎞
           ⎝−8  −1⎠,
   A(−2)·A(1) − 4I₂ = ⎛ −9   0⎞ − ⎛4  0⎞ =
                       ⎝−28  −2⎠   ⎝0  4⎠

   - 2p

   = ⎛−13   0⎞ = ⎛2·(−7) + 1     0   ⎞ = A(−7),
     ⎝−28  −6⎠   ⎝  4·(−7)     −7 + 1⎠

   deci A(x) = A(−7), de unde obținem x = −7 - 3p

3. 1. c) Demonstrați că det(A(x) + A(1/x) − 2I₂) ≥ 8, pentru orice număr real nenul x.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.c)

   A(x) + A(1/x) − 2I₂ = ⎛2x + 2/x       0    ⎞
                         ⎝4x + 4/x    x + 1/x⎠,

   det(A(x) + A(1/x) − 2I₂) = (2x + 2/x)(x + 1/x) = - 2p = 2(x² + 1/x² + 2) = 2((x − 1/x)² + 4) ≥ 8, pentru orice număr real nenul x - 3p

4. 2. a) Arătați că 1 ∘ 1 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) 1 ∘ 1 = 1² − 1·1 − 1 + 2·1 + 1 = - 3p = 1 − 1 − 1 + 2 + 1 = 2 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care x ∘ (2x) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 3

   b) x ∘ (2x) = −x² + 3x + 1, pentru orice număr real x - 2p −x² + 3x + 1 = 1, deci −x² + 3x = 0, de unde obținem x = 0 sau x = 3 - 3p

6. 2. c) Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care m ∘ n = m.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (m, n) ∈ {(1, 0), (3, 4)}

   c) m ∘ n = m² − mn − m + 2n + 1, deci m² − mn − 2m + 2n = −1 - 2p (m − 2)(m − n) = −1 și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile (1, 0) și (3, 4) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (3x² − x − 2)/(2x√x), x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = √x + (x − 1)·1/(2√x) + (−2·1/(2√x))/x = - 3p = (2x² + x² − x − 2)/(2x√x) = (3x² − x − 2)/(2x√x), x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→1} (√x·f′(x))/(5x − 5) = 1/2.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) lim_{x→1} (√x·f′(x))/(5x − 5) = lim_{x→1} (3x² − x − 2)/(2x(5x − 5)) = lim_{x→1} ((3x + 2)(x − 1))/(10x(x − 1)) = - 3p = lim_{x→1} (3x + 2)/(10x) = 1/2 - 2p

3. 1. c) Determinați imaginea funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: [2, +∞)

   c) f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (0, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1] și, pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, +∞) - 2p lim_{x→+∞} f(x) = +∞, f(1) = 2 și f este continuă, de unde obținem că imaginea funcției f este [2, +∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ (f(x)/eˣ) dx = 5/6.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₀¹ (f(x)/eˣ) dx = ∫₀¹ (x² + x) dx = [x³/3]₀¹ + [x²/2]₀¹ = - 3p = 1/3 + 1/2 = 5/6 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁² (f(x)/x) dx = e(2e − 1).

   −+din 5
   Arată baremul

   2.b) ∫₁² (f(x)/x) dx = ∫₁² (x + 1)(eˣ)′ dx = [xeˣ]₁² = - 3p = 2e² − e = e(2e − 1) - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₂⁴ (xf(x)/f(x − 1)) dx = ae(5 + ln 3).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   2.c) ∫₂⁴ (xf(x)/f(x − 1)) dx = e∫₂⁴ ((x² + x)/(x − 1)) dx = e∫₂⁴ (x + 2 + 2/(x − 1)) dx = e[x²/2 + 2x + 2ln(x − 1)]₂⁴ = 2e(5 + ln 3) - 3p ae(5 + ln 3) = 2e(5 + ln 3), de unde obținem a = 2 - 2p