Matematică tehnologic, model de subiect 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₁ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₂ = 7 și a₆ = 23.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   1. a₆ = a₂ + 4r, deci 4r = 16, de unde obținem r = 4, unde r este rația progresiei aritmetice - 3p a₁ = a₂ − r = 7 − 4 = 3 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 8x−5. Determinați numărul real a pentru care punctul A(a,3a) aparține…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   f(a) = 3a ⇔ 8a−5 = 3a - 3p a = 1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄ x + log₄(3x) = log₄ 12.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   3. log₄(3x²) = log₄ 12, de unde obținem 3x² = 12 - 3p x = −2, care nu convine; x = 2, care convine - 2p

4. 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, √n să fie număr…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/30

   4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p Numerele naturale n, de două cifre, pentru care √n este număr natural par sunt 16, 36 și 64, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem p = 3/90 = 1/30 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−3,2), B(1,4) și C(6,0). Determinați distanța dintre mijloacele…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   M(−1,3) și N(3,0), unde punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AB, respectiv OC - 2p MN = √((3+1)²+(0−3)²) = √25 = 5 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu BC = 16 și măsura unghiului B egală cu 30°. Arătați că aria…

   −+din 5
   Arată baremul

   6. sin B = AC/BC ⇒ 1/2 = AC/16, deci AC = 8 - 2p AB = √(BC² − AC²) = 8√3 și, cum 𝒜_△ABC = (AB · AC)/2, obținem 𝒜_△ABC = (8 · 8√3)/2 = 32√3 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det A = 9.

   −+din 5
   Arată baremul

   det A = | −3 3 | | −2 −1 | = −3·(−1)−3·(−2) = - 3p = 3+6 = 9 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care B(3)·B(4) = xB(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 7

   B(3) = ⎛ 4  −3 ⎞
          ⎝ 2   2 ⎠
   și B(4) = ⎛ 5  −3 ⎞
             ⎝ 2   3 ⎠ ⇒ B(3)·B(4) = ⎛ 14  −21 ⎞
                                     ⎝ 14    0 ⎠ = - 3p
   = 7⎛ 2  −3 ⎞ = 7B(1), de unde obținem x = 7 - 2p
      ⎝ 2   0 ⎠

3. 1. c) Determinați numărul real a pentru care matricea B(a) este inversa matricei C = (1/9)A.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -2

   C·B(a) = ⎛  (−a+1)/3    (a+2)/3 ⎞
            ⎝ (−2a−4)/9   (−a+7)/9 ⎠, pentru orice număr real a - 2p

   C·B(a) = B(a)·C = I₂, de unde obținem a = −2 - 3p

4. 2. a) Pentru m = 1, arătați că f(2) = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) f = X³ + X² + X − 4 ⇒ f(2) = 2³ + 2² + 2 − 4 = - 3p = 8 + 4 + 2 − 4 = 10 - 2p

5. 2. b) Pentru m = −4, determinați rădăcinile polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: −2, −1 și 2

   2. b) f = X³ + X² − 4X − 4 ⇒ f = (X + 1)(X − 2)(X + 2) - 2p Rădăcinile polinomului f sunt −2, −1 și 2 - 3p

6. 2. c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul m, polinomul f nu are toate rădăcinile reale.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) x₁ + x₂ + x₃ = −1, x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = m ⇒ x₁² + x₂² + x₃² = 1 − 2m, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f - 3p Cum m este număr natural nenul, obținem x₁² + x₂² + x₃² < 0, deci polinomul f nu are toate rădăcinile reale - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (x²+4x−5)/(x+2)², x ∈ (−2,+∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = ((2x−2)(x+2)−(x²−2x+1)·1)/(x+2)² = - 3p = (2x²+4x−2x−4−x²+2x−1)/(x+2)² = (x²+4x−5)/(x+2)², x ∈ (−2,+∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→+∞} f(x)/eˣ = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_{x→+∞} f(x)/eˣ = lim_{x→+∞} (x²−2x+1)/(eˣ(x+2)) = lim_{x→+∞} (2x−2)/(eˣ(x+3)) = - 3p = lim_{x→+∞} 2/(eˣ(x+4)) = 0 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că funcția f este convexă.

   −+din 5
   Arată baremul

   f″(x) = 18/(x+2)³, x ∈ (−2,+∞) - 3p f″(x) > 0, pentru orice x ∈ (−2,+∞), de unde obținem că funcția f este convexă - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁³ (f(x) − 1/√(x + 1)) dx = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₁³ (f(x) − 1/√(x + 1)) dx = ∫₁³ (x + 1) dx = [x²/2 + x]₁³ = - 3p = 9/2 + 3 − 1/2 − 1 = 6 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀⁸ (f(x) − x − 1) dx = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₀⁸ (f(x) − x − 1) dx = ∫₀⁸ 1/√(x + 1) dx = 2∫₀⁸ (x + 1)′ · 1/(2√(x + 1)) dx = [2√(x + 1)]₀⁸ = - 3p = 2 · 3 − 2 · 1 = 4 - 2p

6. 2. c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g : [0, 3] → ℝ, g(x) = f(x),…

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) V = π∫₀³ g²(x) dx = π∫₀³ ((x + 1)² + 2√(x + 1) + 1/(x + 1)) dx = - 2p = π∫₀³ (x + 1)′((x + 1)² + 2√(x + 1) + 1/(x + 1)) dx = π[(x + 1)³/3 + 4 · (x + 1)√(x + 1)/3 + ln(x + 1)]₀³ = π(64/3 + 32/3 + ln 4 − 1/3 − 4/3) = π(91/3 + ln 4) - 3p