Matematică tehnologic, sesiunea august 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 5·(0,7−0,2)+0,5=3.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. 5·(0,7−0,2)+0,5=5·0,5+0,5= - 2p =2,5+0,5=3 - 3p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = 6x−2. Determinați numărul real m pentru care f(m) = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   f(m) = 6m−2, pentru orice număr real m - 2p 6m−2 = 10, de unde obținem m = 2 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √(16−3x) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   16−3x = 1 - 3p x = 5, care convine - 2p

4. 4. După o scumpire cu 60%, un obiect costă 320 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 200 de lei

   4. x+(60/100)·x=320, unde x este prețul obiectului înainte de scumpire - 3p x=200 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3,0), B(3,2) și C(a,b), unde a și b sunt numere reale. Determinați…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a=3, b=4

   5. a=3 - 2p 2=(0+b)/2, de unde obținem b=4 - 3p

6. 6. Arătați că 5cos60°−sin30°+4(sin60°)²=5.

   −+din 5
   Arată baremul

   6. cos60°=1/2, sin30°=1/2, sin60°=√3/2 - 3p 5cos60°−sin30°+4(sin60°)²=5·(1/2)−1/2+4·(√3/2)²=5/2−1/2+4·(3/4)=5 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(5)) = 21.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(5) = ⎛ 2   5⎞
          ⎝−5  −2⎠ ⇒ det(A(5)) = │ 2   5│
                                 │−5  −2│ = 2·(−2)−5·(−5) = - 3p

   = −4+25 = 21 - 2p

2. 1. b) Arătați că 2A(−1)+A(5) = 3A(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   A(−1) = ⎛2  −1⎞
           ⎝1  −2⎠,
   2A(−1)+A(5) = ⎛ 6   3⎞
                 ⎝−3  −6⎠ = - 3p
   = 3⎛ 2   1⎞
      ⎝−1  −2⎠ = 3A(1) - 2p

3. 1. c) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care det(A(x)·A(−x)−x²I₂) ≥ 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x ∈ [−1,1]

   A(−x) = ⎛2  −x⎞
           ⎝x  −2⎠ ⇒ A(x)·A(−x)−x²I₂ = ⎛ 4   −4x⎞
                                          ⎝−4x   4 ⎠, de unde obținem

   det(A(x)·A(−x)−x²I₂) = 16(1−x²), pentru orice număr real x - 3p 16(1−x²) ≥ 0, de unde obținem x ∈ [−1,1] - 2p

4. 2. a) Arătați că f(1) = 0, pentru orice număr real m.

   −+din 5
   Arată baremul

   f(1) = 1³+m·1²−1−m = - 3p = 1+m−1−m = 0, pentru orice număr real m - 2p

5. 2. b) Pentru m = −3, arătați că 3 este rădăcină a polinomului f.

   −+din 5
   Arată baremul

   f = X³−3X²−X+3 ⇒ f(3) = 3³−3·3²−3+3 = - 3p = 27−27−3+3 = 0, deci 3 este rădăcină a polinomului f - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real m pentru care (x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃)²+x₁x₂x₃(x₁+x₂+x₃) = 1, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   x₁+x₂+x₃ = −m, x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃ = −1, x₁x₂x₃ = m, pentru orice număr real m - 3p 1−m² = 1, de unde obținem m = 0 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 4(x³ − 1)/x², x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1.a) f′(x) = 4x − 4/x² = - 3p = (4x³ − 4)/x² = 4(x³ − 1)/x², x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 2, situat pe graficul funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: y = 7x − 5

   Reguli generale:

   1.b) f(2) = 9, f′(2) = 7 - 2p Ecuația tangentei este y − f(2) = f′(2)(x − 2), adică y = 7x − 5 - 3p

3. 1. c) Arătați că 6 ≤ 2x² + 4/x ≤ 33, pentru orice x ∈ [1/4, 4].

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   1.c) f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ [1/4, 1], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe [1/4, 1] și, pentru orice x ∈ [1, 4], f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1, 4] - 2p Cum f(1/4) = 121/8, f(1) = 5, f(4) = 32, obținem f(1) ≤ f(x) ≤ f(4), pentru orice x ∈ [1/4, 4], deci 6 ≤ 2x² + 4/x ≤ 33, pentru orice x ∈ [1/4, 4] - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₁³ (f(x) − 2ln x) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2.a) ∫₁³ (f(x) − 2ln x) dx = ∫₁³ (x − 1) dx = [x²/2]₁³ − [x]₁³ = - 3p = 4 − 2 = 2 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁ᵉ ((f(x) − x + 1)/x) dx = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Reguli generale:

   2.b) ∫₁ᵉ ((f(x) − x + 1)/x) dx = ∫₁ᵉ (2ln x/x) dx = ∫₁ᵉ 2ln x · (ln x)′ dx = [ln² x]₁ᵉ = - 3p = ln² e − ln² 1 = 1 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a, știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției g : (0, +∞) → ℝ, g(x) =…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 14

   Reguli generale:

   2.c) g(x) = 3x(x + 2ln x), x ∈ (0, +∞), deci 𝒜 = ∫₁³ |g(x)| dx = [x³]₁³ + ∫₁³ (3x²)′ · ln x dx = - 3p = 26 + [3x² ln x]₁³ − [3x²/2]₁³ = 14 + 27ln 3, deci a + 27ln 3 = 14 + 27ln 3, de unde obținem a = 14 - 2p