Matematică tehnologic, simulare 2025

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, în care a₁ = 3 și a₂ = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 17

   r = a₂ − a₁ = 7, unde r este rația progresiei aritmetice - 3p a₃ = 10 + 7 = 17 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 4 și g : ℝ → ℝ, g(x) = x + 2. Determinați numărul real a pentru care…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4

   g(2) = 4, f(a) = 3a − 4, pentru orice număr real a - 3p 3a − 4 = a + 4, de unde obținem a = 4 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(10x − 1) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   10x − 1 = 3², deci 10x − 1 = 9 - 3p x = 1, care convine - 2p

4. 4. După o ieftinire cu 45%, un produs costă 110 lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 200 lei

   x − (45/100)·x = 110, unde x este prețul produsului înainte de ieftinire - 3p x = 200 de lei - 2p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 4), B(0, −1), C(8, 3). Arătați că AB = AM, unde punctul M este…

   −+din 5
   Arată baremul

   5. AB = 5 - 2p M(4, 1), deci AM = √(4² + 3²) = 5, de unde obținem AB = AM - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 6 și AC = 8. Arătați că sin C = 3/5.

   −+din 5
   Arată baremul

   BC = 10 - 2p sin C = AB/BC = 6/10 = 3/5 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(2)) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(2) = [[2, 6], [2, 7]] ⇒ det(A(2)) = det([[2, 6], [2, 7]]) = 2·7 − 2·6 = - 3p = 14 − 12 = 2 - 2p

2. 1. b) Determinați numărul real x pentru care A(1)·A(1) + 2I₂ = xA(1).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   A(1) = [[1, 3], [1, 5]], A(1)·A(1) + 2I₂ = [[4, 18], [6, 28]] + [[2, 0], [0, 2]] = [[6, 18], [6, 30]] = 6[[1, 3], [1, 5]] - 3p xA(1) = 6A(1), de unde obținem x = 6 - 2p

3. 1. c) Determinați matricea X ∈ M₂(ℝ) pentru care A(2)·X·A(2) = A(0).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: X = [[9, −9], [−3, 3]]

   Cum det(A(2)) ≠ 0, X = (A(2))⁻¹·A(0)·(A(2))⁻¹; A(0) = [[0, 0], [0, 3]] - 2p (A(2))⁻¹ = [[7/2, −3], [−1, 1]], de unde obținem X = [[9, −9], [−3, 3]] - 3p

4. 2. a) Arătați că 0 ∗ 2 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 0 ∗ 2 = 0 · 2 − 2 · 0 − 2 · 2 + 6 = - 3p = 0 − 0 − 4 + 6 = 2 - 2p

5. 2. b) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ (2x) = 6.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: x = 0 sau x = 3

   2. b) x ∗ (2x) = 2x² − 6x + 6, pentru orice număr real x - 2p 2x² − 6x + 6 = 6, deci 2x² − 6x = 0, de unde obținem x = 0 sau x = 3 - 3p

6. 2. c) Știind că e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”, determinați numărul real x al cărui simetric în…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5/2

   2. c) x ∗ 4 = 4 ∗ x = 3, de unde obținem 4x − 2x − 8 + 6 = 3 - 3p x = 5/2 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = ((2x − 1)(2x + 1))/x, x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = 4x − 1/x = - 3p = (4x² − 1)/x = ((2x − 1)(2x + 1))/x, x ∈ (0, +∞) - 2p

2. 1. b) Arătați că lim(x → 1) [(f(x) + ln x)/(3x − 3)] = 4/3.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. b) lim(x → 1) [(f(x) + ln x)/(3x − 3)] = lim(x → 1) [(2x² − 2)/(3x − 3)] = lim(x → 1) [2(x − 1)(x + 1)/(3(x − 1))] = - 3p = lim(x → 1) [2(x + 1)/3] = 4/3 - 2p

3. 1. c) Arătați că (4x² − 1)/2 ≥ ln(2x), pentru orice x ∈ (0, +∞).

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c) f′(x) = 0 ⇒ x = 1/2; pentru orice x ∈ (0, 1/2], f′(x) ≤ 0, deci f este descrescătoare pe (0, 1/2] și, pentru orice x ∈ [1/2, +∞), f′(x) ≥ 0, deci f este crescătoare pe [1/2, +∞) - 2p f(x) ≥ f(1/2), pentru orice x ∈ (0, +∞) și, cum f(1/2) = −3/2 − ln(1/2), obținem (4x² − 1)/2 ≥ ln(2x), pentru orice x ∈ (0, +∞) - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀¹ (f(x) − 2x) dx = e + 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀¹ (f(x) − 2x) dx = ∫₀¹ (eˣ + 2) dx = [eˣ + 2x]₀¹ = - 3p = e + 2 − 1 = e + 1 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀³ 1/(f(x) − eˣ) dx = ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀³ 1/(f(x) − eˣ) dx = ∫₀³ 1/(2x + 2) dx = (1/2)∫₀³ 1/(x + 1) dx = [(1/2)ln(x + 1)]₀³ = - 3p = (ln 4)/2 − (ln 1)/2 = ln 2 - 2p

6. 2. c) Determinați numărul real a pentru care ∫₀¹ f(x)/eˣ dx = 5 + a/e.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: -6

   ∫₀¹ f(x)/eˣ dx = ∫₀¹ (1 + (2x + 2)e⁻ˣ) dx = [x]₀¹ + ∫₀¹ (2x + 2)(−e⁻ˣ)′ dx = - 3p = 1 − [(2x + 4)e⁻ˣ]₀¹ = 5 − 6/e, deci 5 + a/e = 5 − 6/e, de unde obținem a = −6 - 2p