Matematică mate-info, sesiunea specială 2021

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Calculați modulul numărului complex z = (2 + 3i)(2 − 3i) − (9 − 3i).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 5

   1. z = (2 + 3i)(2 − 3i) − (9 − 3i) = 2² − (3i)² − 9 + 3i = 4 + 3i - 3p |z| = √(4² + 3²) = 5 - 2p

2. 2. Se consideră funcțiile f : ℝ → ℝ, f(x) = x − 2 și g : ℝ → ℝ, g(x) = 5x + 20. Calculați (g ∘ f)(2).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 20

   f(2) = 0 - 2p (g ∘ f)(2) = g(f(2)) = 5 · 0 + 20 = 20 - 3p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4^(x−5) = 1/16.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   4^(x−5) = 4^(−2) ⇔ x − 5 = −2 - 3p x = 3 - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/90

   4. Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are 900 de elemente, deci sunt 900 de cazuri posibile - 2p Mulțimea numerelor naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 8 este {118, 181, 811, 124, 142, 214, 241, 412, 421, 222}, deci sunt 10 cazuri favorabile - 2p p = (nr. cazuri favorabile)/(nr. cazuri posibile) = 10/900 = 1/90 - 1p

5. 5. Se consideră paralelogramul ABCD cu AB = 4, BC = 6 și măsura unghiului ABC de 120°. Determinați modulul vectorului…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: √19

   ABCD este paralelogram, deci AM⃗ = (1/2)AC⃗ - 2p AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos(∠ABC) = 76 ⇒ AC = 2√19 ⇒ |AM⃗| = AM = √19 - 3p

6. 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 12, AC = 16 și BC = 20. Arătați că r/R = 2/5, unde r este raza cercului înscris…

   −+din 5
   Arată baremul

   BC² = AB² + AC² ⇒ ΔABC este dreptunghic în A ⇒ R = BC/2 = 10 - 2p P_ΔABC = 48 și 𝒜_ΔABC = (12 · 16)/2 = 96 ⇒ r = 96/24 = 4, de unde obținem r/R = 4/10 = 2/5 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(4)) = 5.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(4) = ⎛ 4  1  −2 ⎞
          ⎜ 2  1   3 ⎟
          ⎝ 7  2   1 ⎠
   ⇒ det(A(4)) = │ 4  1  −2 │
                 │ 2  1   3 │
                 │ 7  2   1 │ = - 2p

   = 4 + 21 + (−8) − (−14) − 2 − 24 = 5 - 3p

2. 1. b) Determinați numărul real a pentru care matricea A(a) nu este inversabilă.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   det(A(a)) = 5a − 15, pentru orice număr real a - 2p Matricea A(a) nu este inversabilă ⇔ det(A(a)) = 0, deci a = 3 - 3p

3. 1. c) Pentru a = 3, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului de ecuații pentru care z₀² = x₀ + y₀.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (x₀, y₀, z₀) ∈ {(−39, 103, −8), (1, −1, 0)}

   Pentru a = 3 soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma (1 + 5α, −1 − 13α, α), unde α ∈ ℝ - 3p z₀² = x₀ + y₀ ⇔ α² + 8α = 0 ⇔ α = −8 sau α = 0, deci (x₀, y₀, z₀) = (−39, 103, −8) sau (x₀, y₀, z₀) = (1, −1, 0) - 2p

4. 2. a) Arătați că 4 ∗ 3 = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   4 ∗ 3 = √(4^(log₃ 3)) = - 3p = √4 = 2 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 9 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ 9 = √(x^(log₃ 9)) = √(x²) = x, pentru orice x ∈ G - 2p 9 ∗ x = √(9^(log₃ x)) = √(3^(2log₃ x)) = √((3^(log₃ x))²) = √(x²) = x, pentru orice x ∈ G, deci e = 9 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

6. 2. c) Determinați x ∈ G, știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 9

   x ∗ x = e ⇒ √(x^(log₃ x)) = 9 ⇒ x^(log₃ x) = 81 ⇒ log₃(x^(log₃ x)) = log₃ 81, deci (log₃ x)² = 4 - 3p log₃ x = −2 sau log₃ x = 2 ⇒ x = 1/9, care nu convine; x = 9, care convine - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = 2x(2x² − 13), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1.a) f′(x) = 2x · (x² − 4) + (x² − 9) · 2x = - 3p = 2x(x² − 4 + x² − 9) = 2x(2x² − 13), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Arătați că lim_{x→3} [sin(x − 3)/(f(x) − 3)] = 1/30.

   −+din 5
   Arată baremul

   b) lim_{x→3} [sin(x − 3)/(f(x) − 3)] = lim_{x→3} [sin(x − 3)/((x² − 9)(x² − 4))] = lim_{x→3} ([sin(x − 3)/(x − 3)] · [1/((x + 3)(x² − 4))]) = - 2p = 1 · [1/((3 + 3)(3² − 4))] = 1/30 - 3p

3. 1. c) Determinați valorile reale ale lui m pentru care ecuația f(x) = m are exact patru soluții reale.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: m ∈ (−13/4, 39)

   c) f′(x) = 0 ⇔ x = −√(13/2), x = 0 sau x = √(13/2); f′(x) < 0, pentru orice x ∈ (−∞, −√(13/2)) ∪ (0, √(13/2)) și f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (−√(13/2), 0) ∪ (√(13/2), +∞) - 3p lim_{x→−∞} f(x) = lim_{x→+∞} f(x) = +∞, f(−√(13/2)) = f(√(13/2)) = −13/4, f(0) = 39, f continuă pe ℝ, f strict descrescătoare pe (−∞, −√(13/2)) și pe (0, √(13/2)) și f strict crescătoare pe (−√(13/2), 0) și pe (√(13/2), +∞), deci ecuația f(x) = m are exact patru soluții reale ⇔ m ∈ (−13/4, 39) - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁² [f(x)/arctg x] dx = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2.a) ∫₁² [f(x)/arctg x] dx = ∫₁² 2x dx = [x²]₁² = - 3p = 4 − 1 = 3 - 2p

5. 2. b) Determinați numărul real nenul a pentru care ∫₀^√3 f(x) dx = π/a − √3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: a = 3/4

   b) ∫₀^√3 f(x) dx = ∫₀^√3 (x² + 1)′ arctg x dx = [(x² + 1) arctg x]₀^√3 − ∫₀^√3 (x² + 1) · [1/(x² + 1)] dx = 4 · π/3 − [x]₀^√3 = - 3p = 4π/3 − √3, de unde obținem a = 3/4 - 2p

6. 2. c) Demonstrați că ∫₋₁¹ x f(x) dx = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   c) ∫₋₁¹ x f(x) dx = 2∫₋₁¹ x² arctg x dx = 2∫₁⁻¹ (−x)² arctg(−x)(−1) dx = −2∫₋₁¹ x² arctg x dx = −∫₋₁¹ x f(x) dx - 3p 2∫₋₁¹ x f(x) dx = 0, deci ∫₋₁¹ x f(x) dx = 0 - 2p