Matematică mate-info, sesiunea iunie-iulie 2022

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că 8 − 6√6 + 6(√6 − 1) = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   8 − 6√6 + 6(√6 − 1) = 8 − 6√6 + 6√6 − 6 = - 3p = 8 − 6 = 2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x + m, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care (f ∘…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   f(0) = m, (f ∘ f)(0) = 4m - 3p 4m = 4, de unde obținem m = 1 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3·2^(2x) + 4ˣ = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0

   3·4ˣ + 4ˣ = 4, deci 4·4ˣ = 4 - 3p x = 0 - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 4/9

   Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p Deoarece cifra zecilor poate fi 1, 2, 3 sau 6, în mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 4·10 = 40 de numere care au cifra zecilor divizor al numărului 6, deci sunt 40 de cazuri favorabile, de unde obținem p = 40/90 = 4/9 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație y = 3x − 2 și punctul A(a, a), unde a este număr real.…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   a = 3a − 2 - 3p a = 1 - 2p

6. 6. Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu AB = 10 și cos A = 0. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 50.

   −+din 5
   Arată baremul

   A = π/2 - 2p AC = AB ⇒ 𝒜_{△ABC} = (10·10)/2 = 50 - 3p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(1)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(1) = ⎛1  −1   1⎞
          ⎜0   1  −2⎟
          ⎝0   0   1⎠

   ⇒ det(A(1)) = |1 −1 1| |0 1 −2| |0 0 1| = - 2p = 1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1 - 3p

2. 1. b) Arătați că A(x)·A(y) = A(x + y), pentru orice numere reale x și y.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(x)·A(y) = ⎛1  −y − x   y² + 2xy + x²⎞
               ⎜0     1        −2y − 2x   ⎟
               ⎝0     0             1     ⎠ = - 3p
   = ⎛1  −(x + y)    (x + y)²⎞
     ⎜0      1      −2(x + y)⎟
     ⎝0      0          1    ⎠ = A(x + y), pentru orice numere reale x și y - 2p

3. 1. c) Determinați numărul natural n pentru care A(n)·A(n + 1)·A(n + 2)·A(n + 3) = A(2n²).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 3

   A(n)·A(n + 1)·A(n + 2)·A(n + 3) = A(4n + 6), pentru orice număr natural n - 3p 4n + 6 = 2n² ⇔ n² − 2n − 3 = 0 și, cum n este număr natural, obținem n = 3 - 2p

4. 2. a) Arătați că 1 ∗ 0 = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1 ∗ 0 = (2·1)/(0 + 2) + (2·0)/(1 + 2) = - 3p = 1 + 0 = 1 - 2p

5. 2. b) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

   −+din 5
   Arată baremul

   x ∗ 0 = 2x/(0 + 2) + (2·0)/(x + 2) = x, pentru orice x ∈ M - 2p 0 ∗ x = (2·0)/(x + 2) + 2x/(0 + 2) = x, pentru orice x ∈ M, deci e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗” - 3p

6. 2. c) Determinați x ∈ M, x nenul, pentru care x ∗ (4/x) = x.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 2

   x ∗ (4/x) = 2x/(4/x + 2) + (8/x)/(x + 2) = x²/(x + 2) + 8/(x(x + 2)) = (x³ + 8)/(x(x + 2)), pentru orice x ∈ M, x nenul - 3p (x³ + 8)/(x(x + 2)) = x și, cum x ∈ M, x nenul, obținem x = 2 - 2p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = eˣ(1 − x)/(eˣ − x)², x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   f′(x) = (eˣ − x − x(eˣ − 1))/(eˣ − x)² = - 3p = (eˣ − xeˣ)/(eˣ − x)² = eˣ(1 − x)/(eˣ − x)², x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: f este crescătoare pe (−∞, 1] și descrescătoare pe [1, +∞).

   f′(x) = 0 ⇔ x = 1; pentru orice x ∈ (−∞, 1], f′(x) ≥ 0 ⇒ f este crescătoare pe (−∞, 1] - 3p Pentru orice x ∈ [1, +∞), f′(x) ≤ 0 ⇒ f este descrescătoare pe [1, +∞) - 2p

3. 1. c) Demonstrați că, pentru orice m ∈ (1, 2], ecuația f(x) = m are soluție unică.

   −+din 5
   Arată baremul

   lim_{x→−∞} f(x) = 1, f(1) = 2 + 1/(e − 1), lim_{x→+∞} f(x) = 2 - 3p Cum f este continuă, f este strict crescătoare pe (−∞, 1) și f este strict descrescătoare pe (1, +∞), obținem că, pentru orice m ∈ (1, 2], ecuația f(x) = m are soluție unică - 2p

4. 2. a) Arătați că ∫₁⁵ (f(x) − √(x² + 9)) dx = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) ∫₁⁵ (f(x) − √(x² + 9)) dx = ∫₁⁵ (3 − x) dx = (3x − x²/2)|₁⁵ = - 3p = 15 − 25/2 − 3 + 1/2 = 0 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₀⁴ x/(f(x) + x − 3) dx = 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) ∫₀⁴ x/(f(x) + x − 3) dx = ∫₀⁴ x/√(x² + 9) dx = ∫₀⁴ (x² + 9)′/(2√(x² + 9)) dx = √(x² + 9)|₀⁴ = - 3p = 5 − 3 = 2 - 2p

6. 2. c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul Iₙ = ∫₀¹ xⁿ/f(x) dx. Demonstrați că limₙ→₊∞ Iₙ = 0.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. c) Iₙ = ∫₀¹ xⁿ/f(x) dx = ∫₀¹ xⁿ/(3 − x + √(x² + 9)) dx, pentru orice număr natural nenul n - 2p 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 3 − x + √(x² + 9) ≥ 3 − x ≥ 2 ⇒ 0 ≤ xⁿ/(3 − x + √(x² + 9)) ≤ xⁿ/2, deci 0 ≤ Iₙ ≤ 1/(2(n + 1)), pentru orice număr natural nenul n și, cum limₙ→₊∞ 1/(2(n + 1)) = 0, obținem limₙ→₊∞ Iₙ = 0 - 3p