Matematică mate-info, sesiunea specială 2023

Corectează-te cu baremul

Ai rezolvat lucrarea pe foaie? Deschide baremul fiecărui item, trece-ți punctele și nota apare pe loc. Rămân salvate pe dispozitivul tău.

Subiectul I

1. 1. Arătați că (2 − i)² + i(4 + i) = 2, unde i² = −1.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. (2 − i)² + i(4 + i) = 4 − 4i + i² + 4i + i² = - 3p = 4 − 1 − 1 = 2 - 2p

2. 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x) = x + 3. Determinați numărul real m pentru care (f ∘ f)(m) = 2m.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 6

   (f ∘ f)(m) = m + 6, pentru orice număr real m - 3p m + 6 = 2m, de unde obținem m = 6 - 2p

3. 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5^(x+1) − 3·5^x = 10.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1

   5·5^x − 3·5^x = 10, deci 2·5^x = 10, de unde obținem 5^x = 5 - 3p x = 1 - 2p

4. 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/10

   Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile - 2p Deoarece cifrele pot fi 7, 8 și 9, sunt 3 · 3 = 9 numere naturale de două cifre care au cifrele mai mari sau egale cu 7, deci sunt 9 cazuri favorabile, de unde obținem p = 9/90 = 1/10 - 3p

5. 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 4), B(3, −2) și C(2a, a), unde a este număr real nenul. Arătați…

   −+din 5
   Arată baremul

   m_AB = −2 - 2p m_OC = 1/2, pentru orice număr real nenul a și, cum m_AB·m_OC = (−2)·(1/2) = −1, obținem că dreptele AB și OC sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul a - 3p

6. 6. Se consideră expresia E(x) = sin x + 4cos(x/3)sin(2x/3), unde x este număr real. Arătați că E(π/2) = 4.

   −+din 5
   Arată baremul

   sin(π/2) = 1, cos(π/6) = √3/2, sin(π/3) = √3/2 - 3p E(π/2) = 1 + 4·(3/4) = 4 - 2p

Subiectul al II-lea

1. 1. a) Arătați că det(A(0)) = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   A(0) = ⎛ 0  −1  0 ⎞
          ⎜ 1  −2  0 ⎟
          ⎝ 1   1  1 ⎠

   ⇒ det(A(0)) = | 0 −1 0 | | 1 −2 0 | | 1 1 1 | = - 2p = 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − (−1) = 1 - 3p

2. 1. b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: ℝ \ {−1}

   det(A(a)) = | a −1 2a | | 1 −2 a | | 1 1 1−a | = (a + 1)², pentru orice număr real a - 2p det(A(a)) = 0 ⇔ a = −1, deci sistemul de ecuații are soluție unică dacă și numai dacă a ∈ ℝ \ {−1} - 3p

3. 1. c) Pentru a = −1, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului pentru care x₀² + y₀² + z₀² = 3.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (1, 1, −1) și (−1, −1, 1)

   Pentru a = −1, soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma (−α, −α, α), cu α ∈ ℂ - 2p x₀² + y₀² + z₀² = 3α², deci 3α² = 3, de unde obținem α = −1 sau α = 1, deci soluțiile sunt (1, 1, −1) și (−1, −1, 1) - 3p

4. 2. a) Arătați că 0 ∗ 1 = −3.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. a) 0 ∗ 1 = 0² · 1² − 4(0 + 1)² + 1 = - 3p = 0 − 4 + 1 = −3 - 2p

5. 2. b) Arătați că x ∗ (−1) ≤ 2x, pentru orice număr real x.

   −+din 5
   Arată baremul

   2. b) x ∗ (−1) = −3x² + 8x − 3 = - 2p = −3x² + 6x − 3 + 2x = −3(x − 1)² + 2x ≤ 2x, pentru orice număr real x - 3p

6. 2. c) Determinați perechile (m, n) de numere naturale nenule, cu m ≤ n, pentru care m ∗ n = 1.

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: (3, 6) și (4, 4)

   2. c) m²n² − 4(m + n)² + 1 = 1 și, cum m și n sunt numere naturale nenule, obținem mn − 2m − 2n = 0 - 2p (m − 2)(n − 2) = 4 și, cum m și n sunt numere naturale nenule, cu m ≤ n, perechile sunt (3, 6) și (4, 4) - 3p

Subiectul al III-lea

1. 1. a) Arătați că f′(x) = (x² − 9x)/(5(x² + x + 5)), x ∈ ℝ.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. a) f′(x) = 1/5 − (2x + 1)/(x² + x + 5) = - 3p = (x² + x + 5 − 10x − 5)/(5(x² + x + 5)) = (x² − 9x)/(5(x² + x + 5)), x ∈ ℝ - 2p

2. 1. b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcției f este paralelă…

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 0 și 9

   1. b) Tangenta la graficul funcției f în punctul de coordonate (a, f(a)) este paralelă cu axa Ox ⇔ f′(a) = 0 - 3p a² − 9a = 0, de unde obținem a = 0 sau a = 9 - 2p

3. 1. c) Demonstrați că ecuația f(x) = 0 are soluție unică.

   −+din 5
   Arată baremul

   1. c) f′(x) ≥ 0, pentru orice x ∈ (−∞, 0] ⇒ f este crescătoare pe (−∞, 0]; f′(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [0, 9] ⇒ f este descrescătoare pe [0, 9], deci f(x) ≤ f(0), pentru orice x ∈ (−∞, 9] - 2p f′(x) > 0, pentru orice x ∈ (9, +∞) ⇒ f este strict crescătoare pe (9, +∞) și, cum f(0) = −ln 5 < 0, lim_{x→+∞} f(x) = +∞ și f este continuă, obținem că ecuația f(x) = 0 are soluție unică - 3p

4. 2. a) Arătați că ∫₀² (x³ + 8) f(x) dx = 8.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₀² (x³ + 8) f(x) dx = ∫₀² 4x dx = 2x²|₀² = - 3p = 8 − 0 = 8 - 2p

5. 2. b) Arătați că ∫₁⁴ x f(x) dx = 4 ln 2.

   −+din 5
   Arată baremul

   ∫₁⁴ x f(x) dx = ∫₁⁴ 4x²/(x³ + 8) dx = (4/3)∫₁⁴ (x³ + 8)′/(x³ + 8) dx = (4/3) · ln(x³ + 8)|₁⁴ = - 3p = (4/3) ln 8 = 4 ln 2 - 2p

6. 2. c) Calculați lim_{x→0} ((1/x³)∫₀ˣ t · f(t) dt).

   −+din 5
   Arată baremul

   Răspuns: 1/6

   lim_{x→0} ((1/x³)∫₀ˣ t · f(t) dt) = lim_{x→0} ((∫₀ˣ t · f(t) dt)′/(x³)′) = lim_{x→0} (x · f(x)/(3x²)) = - 3p = lim_{x→0} (4/(3(x³ + 8))) = 1/6 - 2p